（本小题满分12分） 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 两种奶…——2015 高考数学第 20 题答案解析

设每天生产 $A$ 产品 $x$ 吨，$B$ 产品 $y$ 吨，获利为 $z$ 元。
根据题意，约束条件为：
$$ \begin{cases} 2x + 1.5y \le W \\ x + 1.5y \le 12 \\ y \le 2x \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases} $$
目标函数为 $z = 1000x + 1200y$。

（Ⅰ）根据鲜牛奶数量 $W$ 的不同取值，分别求解最大获利 $Z$。

1. 当 $W=12$ 时，概率 $P(W=12)=0.3$。
约束条件变为 $\begin{cases} 2x + 1.5y \le 12 \\ x + 1.5y \le 12 \\ y \le 2x \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$。
由 $2x + 1.5y \le 12$ 和 $x + 1.5y \le 12$ 可知，在 $x,y \ge 0$ 时，前者更严格（因为 $2x \ge x$）。但需结合 $y \le 2x$ 分析可行域顶点。
联立边界方程：
- $2x + 1.5y = 12$ 与 $y = 2x$ 交点：$2x + 1.5(2x) = 12 \Rightarrow 5x = 12 \Rightarrow x = 2.4, y = 4.8$。此点满足 $x+1.5y = 2.4 + 7.2 = 9.6 \le 12$，在可行域内。
- $2x + 1.5y = 12$ 与 $x$ 轴交点 ($y=0$)：$2x=12 \Rightarrow x=6$。此点满足 $y \le 2x$ ($0 \le 12$) 和 $x+1.5y \le 12$ ($6 \le 12$)。
- 原点 $(0,0)$。
可行域顶点为 $(0,0), (6,0), (2.4, 4.8)$。
计算各顶点获利：
- $z(0,0) = 0$
- $z(6,0) = 6000$
- $z(2.4, 4.8) = 1000(2.4) + 1200(4.8) = 2400 + 5760 = 8160$
故此时最大获利 $Z = 8160$。

2. 当 $W=15$ 时，概率 $P(W=15)=0.5$。
约束条件变为 $\begin{cases} 2x + 1.5y \le 15 \\ x + 1.5y \le 12 \\ y \le 2x \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$。
寻找可行域顶点：
- 联立 $x + 1.5y = 12$ 与 $y = 2x$：$x + 1.5(2x) = 12 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3, y = 6$。
检验是否满足牛奶约束：$2(3) + 1.5(6) = 6 + 9 = 15 \le 15$，满足。
- 联立 $x + 1.5y = 12$ 与 $x$ 轴 ($y=0$)：$x=12$。
检验牛奶约束：$2(12) + 0 = 24 > 15$，不满足。
- 联立 $2x + 1.5y = 15$ 与 $x$ 轴 ($y=0$)：$2x=15 \Rightarrow x=7.5$。
检验时间约束：$7.5 + 0 = 7.5 \le 12$，满足。
检验产量比例：$0 \le 2(7.5)$，满足。
- 原点 $(0,0)$。
可行域顶点为 $(0,0), (7.5, 0), (3, 6)$。
计算各顶点获利：
- $z(0,0) = 0$
- $z(7.5, 0) = 7500$
- $z(3, 6) = 1000(3) + 1200(6) = 3000 + 7200 = 10200$
故此时最大获利 $Z = 10200$。

3. 当 $W=18$ 时，概率 $P(W=18)=0.2$。
约束条件变为 $\begin{cases} 2x + 1.5y \le 18 \\ x + 1.5y \le 12 \\ y \le 2x \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$。
由于 $W$ 增大，牛奶约束放宽，主要限制可能来自设备时间和产量比例。
寻找可行域顶点：
- 联立 $x + 1.5y = 12$ 与 $y = 2x$：解得 $x=3, y=6$。
检验牛奶约束：$2(3) + 1.5(6) = 15 \le 18$，满足。
- 联立 $x + 1.5y = 12$ 与 $2x + 1.5y = 18$：
两式相减得 $x = 6$。代入得 $6 + 1.5y = 12 \Rightarrow 1.5y = 6 \Rightarrow y = 4$。
检验产量比例：$4 \le 2(6)=12$，满足。
该点 $(6,4)$ 是牛奶约束和设备时间约束的交点。
- 联立 $2x + 1.5y = 18$ 与 $x$ 轴 ($y=0$)：$x=9$。
检验时间约束：$9 + 0 = 9 \le 12$，满足。
- 原点 $(0,0)$。
可行域顶点为 $(0,0), (9, 0), (6, 4), (3, 6)$。
计算各顶点获利：
- $z(0,0) = 0$
- $z(9, 0) = 9000$
- $z(6, 4) = 1000(6) + 1200(4) = 6000 + 4800 = 10800$
- $z(3, 6) = 10200$
故此时最大获利 $Z = 10800$。

综上，随机变量 $Z$ 的分布列为：

均值 $E(Z) = 8160 \times 0.3 + 10200 \times 0.5 + 10800 \times 0.2 = 2448 + 5100 + 2160 = 9708$。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过 10000 元的概率为：
$P(Z > 10000) = P(Z=10200) + P(Z=10800) = 0.5 + 0.2 = 0.7$。

设“3天中至少有1天的最大获利超过10000元”为事件 $M$。
其对立事件 $\bar{M}$ 为“3天中每天的最大获利都不超过10000元”。
每天获利不超过10000元的概率为 $1 - 0.7 = 0.3$。
由于每天获取的鲜牛奶数量相互独立，故：
$P(\bar{M}) = 0.3^3 = 0.027$。
所以，$P(M) = 1 - P(\bar{M}) = 1 - 0.027 = 0.973$。