函数 f ( x ) = log _ 1 2 ( x ^…——2014 高考数学第 4 题答案解析

首先求函数的定义域。由对数函数的真数大于 $0$，得：
$$x^2 - 4 > 0$$
解得 $x < -2$ 或 $x > 2$，即定义域为 $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$。

令内层函数 $u(x) = x^2 - 4$，外层函数 $y = \log_{\frac{1}{2}} u$。
因为外层函数 $y = \log_{\frac{1}{2}} u$ 的底数 $0 < \frac{1}{2} < 1$，所以在其定义域内单调递减。
根据复合函数单调性“同增异减”的原则，要求原函数 $f(x)$ 的单调递增区间，即求内层函数 $u(x)$ 的单调递减区间与定义域的交集。

二次函数 $u(x) = x^2 - 4$ 的对称轴为 $x=0$，开口向上，故其在 $(-\infty, 0]$ 上单调递减，在 $[0, +\infty)$ 上单调递增。
结合定义域 $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$：
1. 在区间 $(-\infty, -2)$ 上，$u(x)$ 单调递减，且 $u(x) > 0$，故 $f(x)$ 单调递增；
2. 在区间 $(2, +\infty)$ 上，$u(x)$ 单调递增，且 $u(x) > 0$，故 $f(x)$ 单调递减。

综上，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty, -2)$。