已知i是虚数单位， a , b R ,则 · a = b…——2014 高考数学第 2 题答案解析

先判断充分性：
当 $a=1, b=1$ 时，代入计算 $(a+bi)^2 = (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$。
等式成立，故“$a=b=1$”是“$(a+bi)^2=2i$”的充分条件。

再判断必要性：
由 $(a+bi)^2 = 2i$，展开得 $a^2 - b^2 + 2abi = 2i$。
根据复数相等的定义（实部等于实部，虚部等于虚部），可得方程组：
$$ \begin{cases} a^2 - b^2 = 0 \\ 2ab = 2 \end{cases} $$
由 $2ab=2$ 得 $ab=1$，说明 $a,b$ 同号。
由 $a^2 - b^2 = 0$ 得 $a^2 = b^2$，即 $a = b$ 或 $a = -b$。
结合 $a,b$ 同号，排除 $a=-b$（除非 $a=b=0$，但这不满足 $ab=1$），故必须有 $a=b$。
将 $a=b$ 代入 $ab=1$，得 $a^2=1$，解得 $a=1$ 或 $a=-1$。
对应地，$b=1$ 或 $b=-1$。
所以，满足条件的解为 $\begin{cases} a=1 \\ b=1 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a=-1 \\ b=-1 \end{cases}$。
由此可见，由 $(a+bi)^2=2i$ 推不出 $a=b=1$（因为还可能是 $a=b=-1$）。
故“$a=b=1$”不是“$(a+bi)^2=2i$”的必要条件。

综上所述，“$a=b=1$”是“$(a+bi)^2=2i$”的充分不必要条件。