2018_江苏 Paper
21．（15分）如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为θ，间距为d。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为 B，方向与导轨平面垂直。质量为 m 的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。金属棒被松开后，以加速度 a 沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g。求下滑到底端的过程中，金属棒
（1）末速度的大小v；
（2）通过的电流大小I；
（3）通过的电荷量 Q。
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（1）金属棒沿导轨做初速度为零的匀加速直线运动，已知加速度为 $a$，位移为 $s$。
根据运动学公式 $v^2 - v_0^2 = 2as$，且 $v_0=0$，可得：
$v^2 = 2as$
解得末速度大小：
$v = \sqrt{2as}$
（2）对金属棒进行受力分析，金属棒受到重力 $mg$、支持力 $N$ 和安培力 $F_{\text{安}}$。
在沿导轨方向上，重力的分力为 $mg\sin\theta$，方向沿斜面向下。
由于金属棒通有恒定电流 $I$，且磁场 $B$ 与导轨平面垂直，故安培力大小为 $F_{\text{安}} = BId$。
根据题意，金属棒以加速度 $a$ 沿导轨下滑，说明合力方向沿斜面向下。由牛顿第二定律可得：
$mg\sin\theta - F_{\text{安}} = ma$
代入安培力公式：
$mg\sin\theta - BId = ma$
整理得：
$BId = m(g\sin\theta - a)$
解得电流大小：
$I = \frac{m(g\sin\theta - a)}{Bd}$
（3）金属棒做匀加速直线运动，根据速度公式 $v = at$，可得运动时间：
$t = \frac{v}{a} = \frac{\sqrt{2as}}{a}$
由于电流 $I$ 保持恒定，通过金属棒的电荷量 $Q$ 为：
$Q = It$
将第（2）问求得的 $I$ 和第（1）问导出的 $t$ 代入上式：
$Q = \left[ \frac{m(g\sin\theta - a)}{Bd} \right] \cdot \left[ \frac{\sqrt{2as}}{a} \right]$
整理得：
$Q = \frac{m\sqrt{2as}(g\sin\theta - a)}{Bda}$