（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复…——2015 高考数学第 16 题答案解析

（Ⅰ）A 组共有 7 位病人，康复时间分别为 10，11，12，13，14，15，16。
从 A 组随机选出 1 人，基本事件总数为 7。
甲的康复时间不少于 14 天，即康复时间为 14，15，16，共 3 种情况。
故所求概率 $P = \frac{3}{7}$。

（Ⅱ）当 $a=25$ 时，B 组病人的康复时间为 12，13，15，16，17，14，25。
将 B 组数据从小到大排列为：12，13，14，15，16，17，25。
从 A，B 两组各随机选 1 人，总的基本事件个数为 $7 \times 7 = 49$。
设事件 $C$ 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”。
A 组数据为：10，11，12，13，14，15，16。
我们枚举满足 $t_A > t_B$ 的情况：
1. 若乙的康复时间为 12（B 组第 1 小），甲可以是 13，14，15，16，共 4 人；
2. 若乙的康复时间为 13（B 组第 2 小），甲可以是 14，15，16，共 3 人；
3. 若乙的康复时间为 14（B 组第 3 小），甲可以是 15，16，共 2 人；
4. 若乙的康复时间为 15（B 组第 4 小），甲可以是 16，共 1 人；
5. 若乙的康复时间为 16，17，25，甲的最大值为 16，无法大于乙，故无满足条件的情况。

满足条件的事件总数为 $4 + 3 + 2 + 1 = 10$。
故所求概率 $P(C) = \frac{10}{49}$。

（Ⅲ）A 组数据的平均数 $\bar{x}_A = \frac{10+11+12+13+14+15+16}{7} = 13$。
A 组数据的方差 $s_A^2 = \frac{1}{7} [(10-13)^2 + (11-13)^2 + (12-13)^2 + (13-13)^2 + (14-13)^2 + (15-13)^2 + (16-13)^2]$
$= \frac{1}{7} [9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9] = \frac{28}{7} = 4$。

B 组已知 6 个数据为 12，13，14，15，16，17，其和为 $12+13+14+15+16+17 = 87$。
设 B 组第 7 个数据为 $a$，则 B 组平均数 $\bar{x}_B = \frac{87+a}{7}$。
B 组方差 $s_B^2 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^{7} (x_i - \bar{x}_B)^2$。
要使 $s_A^2 = s_B^2$，即 $s_B^2 = 4$，也就是 $\sum_{i=1}^{7} (x_i - \bar{x}_B)^2 = 28$。

观察 A 组数据 $\{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}$ 是关于均值 13 对称的离散程度。
B 组已知数据 $\{12, 13, 14, 15, 16, 17\}$。
如果 $a=11$，B 组数据为 $\{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17\}$。
此时 $\bar{x}_B = \frac{87+11}{7} = \frac{98}{7} = 14$。
$s_B^2 = \frac{1}{7} [(11-14)^2 + (12-14)^2 + (13-14)^2 + (14-14)^2 + (15-14)^2 + (16-14)^2 + (17-14)^2]$
$= \frac{1}{7} [9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9] = \frac{28}{7} = 4$。
符合题意。

如果 $a=18$，B 组数据为 $\{12, 13, 14, 15, 16, 17, 18\}$。
此时 $\bar{x}_B = \frac{87+18}{7} = \frac{105}{7} = 15$。
$s_B^2 = \frac{1}{7} [(12-15)^2 + (13-15)^2 + (14-15)^2 + (15-15)^2 + (16-15)^2 + (17-15)^2 + (18-15)^2]$
$= \frac{1}{7} [9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9] = \frac{28}{7} = 4$。
符合题意。

综上，当 $a=11$ 或 $a=18$ 时，两组方差相等。