21. 设集合 $M = \left\{ \left( i , j , s , t \right) \middle | i \in \left\{ 1 , 2 \right\} , j \in \left\{ 3 , 4 \right\} , s \in \left\{ 5 , 6 \right\} , t \in \left\{ 7 , 8 \right\} , 2 \middle | \left( i + j + s + t \right) \right\}$ ．对于给定有穷数列$A : \{ a _ { n } \} \left( 1 \leq n \leq 8 \right)$ ，及序列 $\Omega : \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , . . . , \omega _ { s }$ $\omega _ { k } = \left( i _ { k } , j _ { k } , s _ { k } , t _ { k } \right) \in M$ ，定义变换T：将数列A的第$i _ { 1 } , j _ { 1 } , s _ { 1 } , t _ { 1 }$ 项加1，得到数列 $T _ { 1 } ( A )$ ；将数列 $T _ { 1 } \left( A \right)$ 的第 $i _ { 2 } , j _ { 2 } , s _ { 2 } , t _ { 2 }$ 列加1，得到数列 $T _ { 2 } T _ { 1 } \left( A \right) \ldots$ ；重复上述操作，得到数列 $T _ { s } . . . T _ { 2 } T _ { 1 } \left( A \right)$ ，记为Ω(A).
(1)给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)，写出 $\Omega ( A )$
（2）是否存在序列Ω，使得Ω(A)为 $a _ { 1 } + 2 , a _ { 2 } + 6 , a _ { 3 } + 4 , a _ { 4 } + 2 , a _ { 5 } + 8 , a _ { 6 } + 2 , a _ { 7 } + 4 , a _ { 8 } + 4$ ，若存在，写出一个符合条件的W；若不存在，请说明理由；
（3）若数列A的各项均为正整数，且 $a _ { 1 } + a _ { 3 } + a _ { 5 } + a _ { 7 }$ 为偶数，证明：“存在序列Ω，使得Ω(A)为常数
列”的充要条件为“ $a _ { 1 } + a _ { 2 } = a _ { 3 } + a _ { 4 } = a _ { 5 } + a _ { 6 } = a _ { 7 } + a _ { 8 } ^ { \circ , } .$
(1) Ω(A):3,4,4,5,8,4,3,10; (2) 不存在符合条件的W，理由见解析; (3) 证明见解析