2017_上海 Paper
20．（16 分）如图，光滑平行金属导轨间距为 L，与水平面夹 角为 θ，两导轨上端用阻值为 R 的电阻相连，该装置处于磁感 应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面。质量为 m 的金属杆 ab 以沿导轨平面向上的初速度v0 从导轨底端开始 运动，然后又返回到出发位置。在运动过程中，ab 与导轨垂直 且接触良好，不计 ab 和导轨的电阻及空气阻力。 （1）求 ab 开始运动时的加速度 a； （2）分析并说明 ab 在整个运动过程中速度、加速度的变化情况； （3）分析并比较 ab 上滑时间和下滑时间的长短。
（1） $a = g \sin \theta + \frac { B ^ { 2 } L ^ { 2 } \nu _ { 0 } } { m R }$ （2）见解析 （3）上滑所需时间小于下滑所需时间
（1）金属杆 $ab$ 开始运动时，速度为 $v_0$，切割磁感线产生的感应电动势为：
$$E = BLv_0$$
回路中的感应电流为：
$$I = \frac{E}{R} = \frac{BLv_0}{R}$$
金属杆受到的安培力大小为：
$$F_{\text{安}} = BIL = \frac{B^2 L^2 v_0}{R}$$
根据右手定则和左手定则（或楞次定律），上滑过程中安培力方向沿导轨平面向下。对金属杆进行受力分析，沿导轨平面方向，由牛顿第二定律得：
$$mg \sin \theta + F_{\text{安}} = ma$$
解得初始加速度：
$$a = g \sin \theta + \frac{B^2 L^2 v_0}{mR}$$
（2）**上滑过程**：
金属杆受重力分力 $mg \sin \theta$ 和安培力 $F_{\text{安}}$ 作用，两力方向均沿斜面向下，与运动方向相反。
合力 $F_{\text{合}} = mg \sin \theta + \frac{B^2 L^2 v}{R}$。
随着速度 $v$ 减小，安培力减小，合力减小，加速度 $a$ 减小。
因此，金属杆做**加速度逐渐减小的减速运动**，直至速度为零到达最高点。
**下滑过程**：
金属杆从最高点由静止开始下滑，受重力分力 $mg \sin \theta$（沿斜面向下）和安培力 $F_{\text{安}}$（沿斜面向上，阻碍相对运动）。
合力 $F_{\text{合}} = mg \sin \theta - \frac{B^2 L^2 v}{R}$。
随着速度 $v$ 增大，安培力增大，合力减小，加速度 $a$ 减小。
因此，金属杆做**初速度为零、加速度逐渐减小的加速运动**。
（3）比较上滑和下滑经过同一位置时的速度大小：
由于运动过程中存在电阻 $R$，机械能不断转化为焦耳热，系统机械能减少。对于导轨上任意同一位置，下滑经过该位置时的动能小于上滑经过该位置时的动能，即 $v_{\text{下}} < v_{\text{上}}$。
由此可知，在任意相同位移处，下滑时的安培力小于上滑时的安培力。
上滑过程的平均加速度 $\bar{a}_{\text{上}} > g \sin \theta$，下滑过程的平均加速度 $\bar{a}_{\text{下}} < g \sin \theta$，故 $\bar{a}_{\text{上}} > \bar{a}_{\text{下}}$。
根据运动学规律，位移大小 $x$ 相等，由 $x \approx \frac{1}{2}\bar{a}t^2$（定性分析）或积分形式 $t = \int \frac{dx}{v}$ 可知，由于全程 $v_{\text{下}} < v_{\text{上}}$，所以下滑过程的平均速度较小，所需时间较长。
结论：**上滑时间小于下滑时间**。