三棱台 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1 中，若…——2023 高考数学第 17 题答案解析

由题意，$A_1A \perp$ 平面 $ABC$，$AB \perp AC$，故以 $A$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AA_1}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $A-xyz$。
因为 $AB=AC=AA_1=2$，所以 $A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), A_1(0,0,2)$。
因为三棱台 $ABC-A_1B_1C_1$ 中 $A_1C_1 // AC$ 且 $A_1C_1=1$，所以 $C_1(0,1,2)$。
因为 $M, N$ 分别是 $BC, BA$ 的中点，所以 $M(1,1,0), N(1,0,0)$。

（1）证明：
$\overrightarrow{A_1N} = (1, 0, -2)$，$\overrightarrow{MC_1} = (-1, 0, 2)$。
显然 $\overrightarrow{A_1N} = -\overrightarrow{MC_1}$，即 $\overrightarrow{A_1N} // \overrightarrow{MC_1}$，所以 $A_1N // MC_1$。
又因为 $A_1N \not\subset$ 平面 $C_1MA$，$MC_1 \subset$ 平面 $C_1MA$，
所以 $A_1N //$ 平面 $C_1MA$。

（2）解：
设平面 $C_1MA$ 的法向量为 $\vec{n} = (x, y, z)$。
$\overrightarrow{AM} = (1, 1, 0)$，$\overrightarrow{AC_1} = (0, 1, 2)$。
由 $\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{AM} = x + y = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC_1} = y + 2z = 0 \end{cases}$，
令 $z=1$，则 $y=-2, x=2$，得 $\vec{n} = (2, -2, 1)$。
平面 $ACC_1A_1$ 即为平面 $yOz$（或由 $AB \perp AC, AB \perp AA_1$ 知 $AB \perp$ 平面 $ACC_1A_1$），其法向量可取 $\vec{m} = (1, 0, 0)$。
设平面 $C_1MA$ 与平面 $ACC_1A_1$ 所成夹角为 $\theta$，则
$\cos \theta = |\cos \langle \vec{n}, \vec{m} \rangle| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{m}|}{|\vec{n}| |\vec{m}|} = \frac{|2 \times 1 + (-2) \times 0 + 1 \times 0|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2} \times 1} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$。
故所求夹角的余弦值为 $\frac{2}{3}$。

（3）解：
$\overrightarrow{AC} = (0, 2, 0)$。
由（2）知平面 $C_1MA$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (2, -2, 1)$。
点 $C$ 到平面 $C_1MA$ 的距离 $d$ 为 $\overrightarrow{AC}$ 在法向量 $\vec{n}$ 方向上的投影长度：
$d = \frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|0 \times 2 + 2 \times (-2) + 0 \times 1|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}} = \frac{|-4|}{3} = \frac{4}{3}$。