（2014）(本题满分12分) 底面边长为2的正三棱锥 P…——2014 高考数学第 19 题答案解析

由正三棱锥 $P-ABC$ 的表面展开图可知，$\triangle ABC$ 为底面，$\triangle P_1AB$、$\triangle P_2BC$、$\triangle P_3CA$ 分别为侧面 $\triangle PAB$、$\triangle PBC$、$\triangle PCA$ 沿底边展开后的图形。
因为 $P-ABC$ 是正三棱锥，所以侧棱长相等，即 $PA=PB=PC$。在展开图中，对应线段相等，故 $AP_1=BP_1=BP_2=CP_2=CP_3=AP_3$。
又因为底面 $\triangle ABC$ 是边长为 2 的正三角形，所以 $\angle ABC = \angle BCA = \angle CAB = 60^\circ$。

考察点 $B$ 处的角度关系：
在展开图中，$P_1, B, P_2$ 三点共线（构成大三角形的一条边）。
由于 $\triangle P_1AB \cong \triangle P_2BC$（均为全等的侧面展开），且 $AB=BC=2$，
设 $\angle ABP_1 = \alpha$。因为 $AP_1=BP_1$，所以 $\triangle P_1AB$ 是等腰三角形，故 $\angle BAP_1 = \angle ABP_1 = \alpha$。
同理，$\angle CBP_2 = \angle BCP_2 = \alpha$。
因为 $P_1, B, P_2$ 共线，所以平角 $\angle P_1 B P_2 = 180^\circ$。
即 $\angle ABP_1 + \angle ABC + \angle CBP_2 = 180^\circ$。
代入已知数据：$\alpha + 60^\circ + \alpha = 180^\circ$，解得 $2\alpha = 120^\circ$，即 $\alpha = 60^\circ$。

因为 $\angle ABP_1 = 60^\circ$ 且 $\triangle P_1AB$ 为等腰三角形，所以 $\triangle P_1AB$ 是等边三角形。
由此可得侧棱长 $PA = PB = PC = AB = BC = CA = 2$。
因此，该三棱锥 $P-ABC$ 的所有棱长均为 2，是一个棱长为 2 的正四面体。

接下来计算 $\triangle P_1 P_2 P_3$ 的边长：
$\triangle P_1 P_2 P_3$ 的边 $P_1 P_2$ 由线段 $P_1 B$ 和 $B P_2$ 组成。
因为 $\triangle P_1AB$ 和 $\triangle P_2BC$ 都是边长为 2 的等边三角形，
所以 $P_1 B = 2$，$B P_2 = 2$。
故 $P_1 P_2 = P_1 B + B P_2 = 2 + 2 = 4$。
同理可得 $P_2 P_3 = 4$，$P_3 P_1 = 4$。
所以 $\triangle P_1 P_2 P_3$ 是边长为 4 的等边三角形。

最后计算三棱锥 $P-ABC$ 的体积 $V$：
方法一（公式法）：
棱长为 $a$ 的正四面体体积公式为 $V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$。
当 $a=2$ 时，
$$ V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 2^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 8 = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$

方法二（定义法）：
底面 $\triangle ABC$ 面积 $S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}$。
顶点 $P$ 在底面的射影 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的中心。
$AO = \frac{2}{3} \times \text{高} = \frac{2}{3} \times \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。
在 Rt$\triangle PAO$ 中，高 $h = PO = \sqrt{PA^2 - AO^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{4 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$。
体积 $V = \frac{1}{3} S_{ABC} h = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{18}}{9} = \frac{6\sqrt{2}}{9} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。

综上所述，$\triangle P_1 P_2 P_3$ 的各边长均为 4，三棱锥的体积为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$。