## 19.（本小题满分12分） 如图，从点 P _ 1…——2011 高考数学第 19 题答案解析

（Ⅰ）设点 $P_{k-1}$ 的坐标为 $(x_{k-1}, 0)$。
因为 $Q_{k-1}$ 在曲线 $y=e^x$ 上，且 $P_{k-1}Q_{k-1} \perp x$ 轴，所以 $Q_{k-1}$ 的横坐标为 $x_{k-1}$，纵坐标为 $e^{x_{k-1}}$，即 $Q_{k-1}(x_{k-1}, e^{x_{k-1}})$。

对 $y=e^x$ 求导得 $y'=e^x$，故曲线在点 $Q_{k-1}$ 处的切线斜率为 $k = e^{x_{k-1}}$。
由点斜式可得切线方程为：
$$y - e^{x_{k-1}} = e^{x_{k-1}}(x - x_{k-1})$$

令 $y=0$，解得切线与 $x$ 轴交点 $P_k$ 的横坐标 $x_k$：
$$-e^{x_{k-1}} = e^{x_{k-1}}(x_k - x_{k-1})$$
因为 $e^{x_{k-1}} \neq 0$，两边同时除以 $e^{x_{k-1}}$ 得：
$$-1 = x_k - x_{k-1}$$
即 $x_k = x_{k-1} - 1 \quad (2 \leq k \leq n)$。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列 $\{x_n\}$ 是首项 $x_1=0$，公差 $d=-1$ 的等差数列。
所以通项公式为：
$$x_k = 0 + (k-1)(-1) = -(k-1)$$

线段 $|P_k Q_k|$ 的长度即为点 $Q_k$ 的纵坐标（因为 $Q_k$ 在 $x$ 轴上方）：
$$|P_k Q_k| = e^{x_k} = e^{-(k-1)} = \left(\frac{1}{e}\right)^{k-1}$$

所求和式为：
$$S_n = |P_1 Q_1| + |P_2 Q_2| + \dots + |P_n Q_n|$$
$$S_n = e^0 + e^{-1} + e^{-2} + \dots + e^{-(n-1)}$$
$$S_n = 1 + \frac{1}{e} + \left(\frac{1}{e}\right)^2 + \dots + \left(\frac{1}{e}\right)^{n-1}$$

这是一个首项为 $1$，公比 $q = \frac{1}{e}$ 的等比数列求和。
由等比数列求和公式 $S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 得：
$$S_n = \frac{1 \cdot [1 - (\frac{1}{e})^n]}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{1 - e^{-n}}{\frac{e-1}{e}} = \frac{e(1 - e^{-n})}{e - 1} = \frac{e - e^{1-n}}{e - 1}$$