（2014）设无穷等比数列 a_ n 的公比为 q，若 a…——2014 高考数学第 8 题答案解析

由题意，无穷等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。要使从第3项开始的无穷级数收敛，必须满足 $|q| < 1$ 且 $q \neq 0$（若 $q=0$，则 $a_3=0$，右边极限为0，导致 $a_1=0$，通常讨论非零数列或根据选项排除 trivial case，此处主要考虑 $0 < |q| < 1$）。

等式右边为从第3项 $a_3$ 开始的无穷等比数列之和。首项为 $a_3 = a_1 q^2$，公比为 $q$。
根据无穷等比数列求和公式 $S = \frac{\text{首项}}{1-\text{公比}}$，可得：
$$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{n}\right) = \frac{a_3}{1-q} = \frac{a_1 q^2}{1-q} $$

根据题设条件 $a_{1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{n}\right)$，代入上式得：
$$ a_1 = \frac{a_1 q^2}{1-q} $$

因为 $\{a_n\}$ 为等比数列，若 $a_1=0$ 则所有项均为0，此时 $q$ 可取任意值但无意义，故假设 $a_1 \neq 0$。两边消去 $a_1$ 得：
$$ 1 = \frac{q^2}{1-q} $$
整理方程：
$$ 1 - q = q^2 $$
$$ q^2 + q - 1 = 0 $$

解此一元二次方程：
$$ q = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $$

结合收敛条件 $|q| < 1$ 进行检验：
1. 若 $q = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$，因为 $\sqrt{5} \approx 2.236$，所以 $q \approx -1.618$，其绝对值 $|q| > 1$，舍去。
2. 若 $q = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$，即 $q = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因为 $1 < \sqrt{5} < 3$，所以 $0 < \sqrt{5}-1 < 2$，从而 $0 < q < 1$，满足 $|q| < 1$。

综上所述，$q$ 的值为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。