设二元一次方程组 array l x + m y = 2…——2022 高考数学第 5 题答案解析

二元一次方程组 $\left\{ \begin{array}{l} x + my = 2 \\ mx + 16y = 8 \end{array} \right.$ 有无穷多组解的充要条件是：两个方程的系数及常数项对应成比例。

即满足：
$$ \frac{1}{m} = \frac{m}{16} = \frac{2}{8} $$

首先由 $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$，可得比例值为 $\frac{1}{4}$。

由 $\frac{1}{m} = \frac{1}{4}$，解得 $m = 4$。

将 $m=4$ 代入中间项 $\frac{m}{16}$ 进行验证：
$$ \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $$
等式成立。

若利用行列式判断：
系数行列式 $D = \begin{vmatrix} 1 & m \\ m & 16 \end{vmatrix} = 16 - m^2$。
$x$ 的替换行列式 $D_x = \begin{vmatrix} 2 & m \\ 8 & 16 \end{vmatrix} = 32 - 8m$。
$y$ 的替换行列式 $D_y = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ m & 8 \end{vmatrix} = 8 - 2m$。

方程组有无穷多解需满足 $D = D_x = D_y = 0$：
1. $16 - m^2 = 0 \Rightarrow m = \pm 4$
2. $32 - 8m = 0 \Rightarrow m = 4$
3. $8 - 2m = 0 \Rightarrow m = 4$

取交集得 $m = 4$。