12. 把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为
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答案
$- { \sqrt { 7 } } < { \sqrt [ { 3 } ] { 7 } } < { \sqrt { 7 } }$
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2013年杭州中考数学真题及答案
2013年杭州中考数学真题、参考答案与解析，共收录 8 道公开题。在线查看题干与答案，结合本地当年试题进行考后核对、错题订正和中考复习。
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试卷题目
8 道14. 杭州市某4所高中近两年的最低录取分数线如下表（单位：分），设 4所高中2011年和2012年的平均最低录取分数线分别为 $\overline { { x _ { 1 } } } ^ { \mathrm { ~ , ~ } } \overline { { x _ { 2 } } }$ ，则 ${ \overline { { x _ { 2 } } } } - { \overline { { x _ { 1 } } } } ^ { = } .$ \_ pts
杭州市某4所高中最低录取分数线统计表
(第14题)
(第15题)
杭州市某4所高中最低录取分数线统计表
| School | 2011年 | 2012年 |
| 杭州A中 | 438 | 442 |
| 杭州B中 | 435 | 442 |
| 杭州C中 | 435 | 439 |
| 杭州D中 | 435 | 439 |
(第14题)
(第15题)
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答案
4.75
15. 四边形 ABCD 是直角梯形， $A B / / C D , A B \bot B C$ ，且 BC=CD=2，AB=3，把梯形$A B C D$ 分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为 $S _ { 1 } , \ S _ { 2 }$ ，则| $S _ { 1 } -$ $S _ { 2 } | =$ （平方单位）
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答案
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## 19.（本小题满分 8 分）
如图，在等腰梯形ABCD 中， $A B / / D C$ ，线段AG，BG 分别交 CD 于点E，F，$D E { = } C F ,$
求证： $\triangle G A B$ 是等腰三角形。
(第19题)
如图，在等腰梯形ABCD 中， $A B / / D C$ ，线段AG，BG 分别交 CD 于点E，F，$D E { = } C F ,$
求证： $\triangle G A B$ 是等腰三角形。
(第19题)
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答案
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Explanation
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是等腰梯形，且 $AB // DC$，
$\therefore AD = BC$，$\angle D = \angle C$，$\angle DAB = \angle CBA$.
在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle BCF$ 中，
$$ \begin{cases} AD = BC \\ \angle D = \angle C \\ DE = CF \end{cases} $$
$\therefore \triangle ADE \cong \triangle BCF \text{ (SAS)}$.
$\therefore \angle DAE = \angle CBF$.
又 $\because \angle GAB = \angle DAB - \angle DAE$，$\angle GBA = \angle CBA - \angle CBF$，
且 $\angle DAB = \angle CBA$，$\angle DAE = \angle CBF$，
$\therefore \angle GAB = \angle GBA$.
$\therefore GA = GB$.
即 $\triangle GAB$ 是等腰三角形.
$\therefore AD = BC$，$\angle D = \angle C$，$\angle DAB = \angle CBA$.
在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle BCF$ 中，
$$ \begin{cases} AD = BC \\ \angle D = \angle C \\ DE = CF \end{cases} $$
$\therefore \triangle ADE \cong \triangle BCF \text{ (SAS)}$.
$\therefore \angle DAE = \angle CBF$.
又 $\because \angle GAB = \angle DAB - \angle DAE$，$\angle GBA = \angle CBA - \angle CBF$，
且 $\angle DAB = \angle CBA$，$\angle DAE = \angle CBF$，
$\therefore \angle GAB = \angle GBA$.
$\therefore GA = GB$.
即 $\triangle GAB$ 是等腰三角形.
## 21.（本小题满分10分）
某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取 1 张卡片
（1）在序号中，是 20的倍数的有：20，40，能整除 20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是 20的倍数或能整除20的概率
（2）若规定：取到的卡片上序号是k（k是满足1≤k≤50的整数），则序号是k的倍数或能整除k（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；
（3）请你设计一个规定，能公平地选出 10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的。
某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取 1 张卡片
（1）在序号中，是 20的倍数的有：20，40，能整除 20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是 20的倍数或能整除20的概率
（2）若规定：取到的卡片上序号是k（k是满足1≤k≤50的整数），则序号是k的倍数或能整除k（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；
（3）请你设计一个规定，能公平地选出 10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的。
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Explanation
（1）在 $1$ 到 $50$ 的整数中，
是 $20$ 的倍数的数有：$20, 40$，共 $2$ 个；
能整除 $20$ 的数（即 $20$ 的约数）有：$1, 2, 4, 5, 10, 20$，共 $6$ 个。
题目要求“不重复计数”，即求集合 $\{x \mid x \text{ 是 } 20 \text{ 的倍数}\} \cup \{x \mid x \text{ 能整除 } 20\}$ 的元素个数。
这两个集合的交集为 $\{20\}$。
根据容斥原理或直接列举，满足条件的序号集合为 $\{1, 2, 4, 5, 10, 20, 40\}$，共有 $7$ 个元素。
总样本空间大小为 $50$。
故所求概率 $P = \frac{7}{50}$。
（2）该规定不公平。
理由如下：
若规定序号为 $k$ 的倍数或能整除 $k$ 的学生参加，我们需要考察不同 $k$ 值下，被选中的学生人数（即概率分子）是否相同，或者更直接地，考察每个学生被选中的机会是否均等。
当抽到的卡片序号 $k=1$ 时：
$1$ 的倍数在 $1 \sim 50$ 中有 $50$ 个（即所有学生）；
能整除 $1$ 的数只有 $1$。
合并后，符合条件的学生序号集合为 $\{1, 2, \dots, 50\}$，共 $50$ 人。
这意味着，只要抽到 $k=1$，全班 $50$ 人都能参加。此时任意一位学生（例如序号为 $2$ 的学生）参加活动的条件之一是“抽到 $k=1$”。
然而，对于序号为 $2$ 的学生，他参加活动的情况还包括抽到 $k=2$（$2$ 是 $2$ 的约数）、$k=4$（$2$ 能整除 $4$? 不，是 $2$ 能整除 $k$ 或 $k$ 是 $2$ 的倍数。若 $k=4$，$2$ 能整除 $4$，符合）、$k=6$ 等等。
更简单的判断依据是看极端情况：
序号为 $1$ 的学生：
无论抽到哪个 $k$ ($1 \le k \le 50$)，因为 $1$ 能整除任何整数 $k$，所以序号 $1$ 始终满足“能整除 $k$”这一条件。
因此，序号为 $1$ 的学生参加活动的概率为 $1$（必然参加）。
序号为 $47$ 的学生（$47$ 是质数）：
只有当抽到的 $k$ 是 $47$ 的倍数（即 $k=47$）或 $k$ 能被 $47$ 整除（即 $k=47$，因为 $47 \times 2 > 50$）时，他才参加。
实际上，若 $k=47$，$47$ 是 $47$ 的倍数，符合；若 $k$ 是其他值，比如 $k=1$，$47$ 不能整除 $1$，$1$ 也不是 $47$ 的倍数，不符合。
显然，不同序号的学生被选中的概率不相等（$1$ 号必中，其他号不一定），因此该规定不公平。
（3）设计方案：
将 $50$ 张卡片充分混合均匀，从中不放回地随机抽取 $10$ 张卡片，这 $10$ 张卡片对应序号的学生参加活动。
理由：
在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性是相等的。
从 $50$ 个不同元素中不放回地抽取 $10$ 个元素，每一个特定的元素被包含在样本中的概率均为 $\frac{10}{50} = \frac{1}{5}$。
因此，每位学生参加活动的概率相等，符合公平性要求。
是 $20$ 的倍数的数有：$20, 40$，共 $2$ 个；
能整除 $20$ 的数（即 $20$ 的约数）有：$1, 2, 4, 5, 10, 20$，共 $6$ 个。
题目要求“不重复计数”，即求集合 $\{x \mid x \text{ 是 } 20 \text{ 的倍数}\} \cup \{x \mid x \text{ 能整除 } 20\}$ 的元素个数。
这两个集合的交集为 $\{20\}$。
根据容斥原理或直接列举，满足条件的序号集合为 $\{1, 2, 4, 5, 10, 20, 40\}$，共有 $7$ 个元素。
总样本空间大小为 $50$。
故所求概率 $P = \frac{7}{50}$。
（2）该规定不公平。
理由如下：
若规定序号为 $k$ 的倍数或能整除 $k$ 的学生参加，我们需要考察不同 $k$ 值下，被选中的学生人数（即概率分子）是否相同，或者更直接地，考察每个学生被选中的机会是否均等。
当抽到的卡片序号 $k=1$ 时：
$1$ 的倍数在 $1 \sim 50$ 中有 $50$ 个（即所有学生）；
能整除 $1$ 的数只有 $1$。
合并后，符合条件的学生序号集合为 $\{1, 2, \dots, 50\}$，共 $50$ 人。
这意味着，只要抽到 $k=1$，全班 $50$ 人都能参加。此时任意一位学生（例如序号为 $2$ 的学生）参加活动的条件之一是“抽到 $k=1$”。
然而，对于序号为 $2$ 的学生，他参加活动的情况还包括抽到 $k=2$（$2$ 是 $2$ 的约数）、$k=4$（$2$ 能整除 $4$? 不，是 $2$ 能整除 $k$ 或 $k$ 是 $2$ 的倍数。若 $k=4$，$2$ 能整除 $4$，符合）、$k=6$ 等等。
更简单的判断依据是看极端情况：
序号为 $1$ 的学生：
无论抽到哪个 $k$ ($1 \le k \le 50$)，因为 $1$ 能整除任何整数 $k$，所以序号 $1$ 始终满足“能整除 $k$”这一条件。
因此，序号为 $1$ 的学生参加活动的概率为 $1$（必然参加）。
序号为 $47$ 的学生（$47$ 是质数）：
只有当抽到的 $k$ 是 $47$ 的倍数（即 $k=47$）或 $k$ 能被 $47$ 整除（即 $k=47$，因为 $47 \times 2 > 50$）时，他才参加。
实际上，若 $k=47$，$47$ 是 $47$ 的倍数，符合；若 $k$ 是其他值，比如 $k=1$，$47$ 不能整除 $1$，$1$ 也不是 $47$ 的倍数，不符合。
显然，不同序号的学生被选中的概率不相等（$1$ 号必中，其他号不一定），因此该规定不公平。
（3）设计方案：
将 $50$ 张卡片充分混合均匀，从中不放回地随机抽取 $10$ 张卡片，这 $10$ 张卡片对应序号的学生参加活动。
理由：
在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性是相等的。
从 $50$ 个不同元素中不放回地抽取 $10$ 个元素，每一个特定的元素被包含在样本中的概率均为 $\frac{10}{50} = \frac{1}{5}$。
因此，每位学生参加活动的概率相等，符合公平性要求。
4．若 $a + b = 3$，$a - b = 7$，则 $ab =$
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答案
A
Explanation
【答案】A
7．在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是
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答案
C
Explanation
【答案】C
9．在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，若 $AB = 4$，$\sin A = \dfrac{3}{5}$，则斜边上的高等于
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答案
B
Explanation
【答案】B