1. $\frac { 3 } { 4 }$的相反数是（ ）
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答案
A
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2025年杭州中考数学真题及答案
2025年杭州中考数学真题、参考答案与解析，共收录 23 道公开题。在线查看题干与答案，结合本地当年试题进行考后核对、错题订正和中考复习。
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23public questions
试卷题目
23 道11. $\left | { -5 } \right |+\sqrt[3] { -27 }=$________．
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答案
2
12. 不等式组$\begin{cases} x\ge -2 \\ 2x-3 < 5 \end{cases}$的解集是________．
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答案
$-2\le x < 4$
13. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为${ \rm{ 5 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ m } }$，从点A观测点P的仰角为$\alpha ,cos\alpha =0.98$，则A处到B处的距离为________${ \rm{ m } }$．
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答案
${ \rm{ 4 } }{ \rm{ 9 } }{ \rm{ 0 } }$
14. 现有六张分别标有数字$1,2,3,4,5,6$的卡片，其中标有数字$1,4,5$的卡片在甲手中，标有数字$2,3,6$的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________．
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答案
$\frac { 4 } { 9 }$
15. 【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方$(a+b) ^ { n }$展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
$(a+b) ^ { 4 } =a ^ { 4 } +4a ^ { 3 } b+6a ^ { 2 } b ^ { 2 } +4ab ^ { 3 } +b ^ { { \rm{ 4 } } }$．
【应用体验】
已知$(x+2) ^ { 4 } =x ^ { 4 } +mx ^ { 3 } +24x ^ { 2 } +32x+16$，则m的值为________
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方$(a+b) ^ { n }$展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
$(a+b) ^ { 4 } =a ^ { 4 } +4a ^ { 3 } b+6a ^ { 2 } b ^ { 2 } +4ab ^ { 3 } +b ^ { { \rm{ 4 } } }$．
【应用体验】
已知$(x+2) ^ { 4 } =x ^ { 4 } +mx ^ { 3 } +24x ^ { 2 } +32x+16$，则m的值为________
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答案
$8$
16. 如图，矩形$ABCD$内接于$\odot O{\text{，}}E$是$\overset \frown { AD }$上一点，连接$EB{\text{，}}EC$分别交$AD$于点$F{\text{，}}G$．若$AF=1{\text{，}}EG=FG=3$，则$\odot O$的直径为________．
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答案
$2\sqrt[] { 14 }$
17. 化简求值：$x(5-x)+x ^ { 2 } +3$，其中$x=2$．
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答案
$5x+3$，13
18. 解分式方程：$\frac { 3 } { x+1 }-\frac { 1 } { x-1 }=0$．
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答案
$x=2$
19. 【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板$ABCD$上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线$BD$上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出$\vartriangle ABE{\text{≌}}\vartriangle CBE$的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足$DE=DA$，求“机翼角”$\angle BAE$的度数．
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板$ABCD$上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线$BD$上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出$\vartriangle ABE{\text{≌}}\vartriangle CBE$的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足$DE=DA$，求“机翼角”$\angle BAE$的度数．
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答案
(1) 见解析; (2) $22.5{}^\circ$
Explanation
（1）证明：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore AB = CB$，且对角线 $BD$ 平分 $\angle ABC$，即 $\angle ABE = \angle CBE$．
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle CBE$ 中，
$$ \begin{cases} AB = CB \\ \angle ABE = \angle CBE \\ BE = BE \text{ (公共边)} \end{cases} $$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle CBE \text{ (SAS)}$．
（2）解：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore \angle BAD = 90^\circ$，$\angle ADB = 45^\circ$．
$\because DE = DA$，
$\therefore \triangle ADE$ 是等腰三角形，故 $\angle DAE = \angle DEA$．
在 $\triangle ADE$ 中，由三角形内角和定理得：
$\angle DAE = \frac{180^\circ - \angle ADE}{2} = \frac{180^\circ - 45^\circ}{2} = 67.5^\circ$．
$\therefore \angle BAE = \angle BAD - \angle DAE = 90^\circ - 67.5^\circ = 22.5^\circ$．
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore AB = CB$，且对角线 $BD$ 平分 $\angle ABC$，即 $\angle ABE = \angle CBE$．
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle CBE$ 中，
$$ \begin{cases} AB = CB \\ \angle ABE = \angle CBE \\ BE = BE \text{ (公共边)} \end{cases} $$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle CBE \text{ (SAS)}$．
（2）解：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore \angle BAD = 90^\circ$，$\angle ADB = 45^\circ$．
$\because DE = DA$，
$\therefore \triangle ADE$ 是等腰三角形，故 $\angle DAE = \angle DEA$．
在 $\triangle ADE$ 中，由三角形内角和定理得：
$\angle DAE = \frac{180^\circ - \angle ADE}{2} = \frac{180^\circ - 45^\circ}{2} = 67.5^\circ$．
$\therefore \angle BAE = \angle BAD - \angle DAE = 90^\circ - 67.5^\circ = 22.5^\circ$．
2. 如图所示，直线$a,b$被直线c所截．若$a\parallel b,\angle 1=91{}^\circ$，则（ ）
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答案
B
20. 2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自数防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表．
（1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：$83,91,83,90,83,88,91$，求该班获奖选手成绩的众数与中位数．
（2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数．
| 班级 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ | ⑦ | ⑧ | ⑨ | ⑩ |
| 获奖人数 | 7 | 8 | 6 | 8 | 6 | 6 | 9 | 7 | 8 | 5 |
（1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：$83,91,83,90,83,88,91$，求该班获奖选手成绩的众数与中位数．
（2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数．
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答案
(1) 众数为$83$，中位数为$88$; (2) 全县九年级参赛选手获奖的总人数为$840$人．
21. 【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：$\left ( { a\pm b } \right ) ^ { 2 } =a ^ { 2 } \pm 2ab+b ^ { 2 }$
近似计算算术平方根的方法．
例如求$\sqrt[] { 67 }$的近似值．
因为$64 < 67 < 81$，
所以$8 < \sqrt[] { 67 } < 9$，
则$\sqrt[] { 67 }$可以设成以下两种形式：
①$\sqrt[] { 67 }=8+s$，其中$0 < s < 1$；
②$\sqrt[] { 67 }=9-t$，其中$0 < t < 1$．
小明以①的形式求$\sqrt[] { 67 }$的近似值的过程如图．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求$\sqrt[] { { \rm{ 6 } }{ \rm{ 7 } } }$的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出
$\sqrt[] { { \rm{ 6 } }{ \rm{ 7 } } }$的近似值的精确度更高，请说明理由．
同学们，我们来学习利用完全平方公式：$\left ( { a\pm b } \right ) ^ { 2 } =a ^ { 2 } \pm 2ab+b ^ { 2 }$
近似计算算术平方根的方法．
例如求$\sqrt[] { 67 }$的近似值．
因为$64 < 67 < 81$，
所以$8 < \sqrt[] { 67 } < 9$，
则$\sqrt[] { 67 }$可以设成以下两种形式：
①$\sqrt[] { 67 }=8+s$，其中$0 < s < 1$；
②$\sqrt[] { 67 }=9-t$，其中$0 < t < 1$．
小明以①的形式求$\sqrt[] { 67 }$的近似值的过程如图．
| 因为$\sqrt[] { 67 }=8+s$， 所以$67=\left ( { 8+s } \right ) ^ { 2 }$， 即$67=64+16s+s ^ { 2 }$． 因为$s ^ { 2 }$比较小， 将$s ^ { 2 }$忽略不计， 所以$67\approx 64+16s$， 即$16s\approx 67-64$， 得$s\approx \frac { 67-64 } { 16 }=\frac { 3 } { 16 }$， 故$\sqrt[] { 67 }\approx 8+\frac { 3 } { 16 }\approx 8.19$． |
【尝试探究】
（1）请用②的形式求$\sqrt[] { { \rm{ 6 } }{ \rm{ 7 } } }$的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出
$\sqrt[] { { \rm{ 6 } }{ \rm{ 7 } } }$的近似值的精确度更高，请说明理由．查看答案解析
答案
(1) $8.22$; (2) 用①的形式得出的$\sqrt[] { { \rm{ 6 } }{ \rm{ 7 } } }$的近似值的精确度更高，理由见解析
22. 如图，在$\vartriangle ABC$中，$AB=AC$，点O在边$AB$上，以点O为圆心，$OB$长为半径的半圆，交$BC$于点D，与$AC$相切于点E，连接$OD,OE$
（1）求证：$OD\bot OE$．
（2）若$AB=BC,OB=\sqrt[] { { \rm{ 3 } } }$，求四边形$ODCE$的面积．
（1）求证：$OD\bot OE$．
（2）若$AB=BC,OB=\sqrt[] { { \rm{ 3 } } }$，求四边形$ODCE$的面积．
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答案
(1) 见解析; (2) $3+\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }$
23. 已知抛物线$y=x ^ { 2 } -ax+5$（a为常数）经过点$\left ( { 1,0 } \right )$．
（1）求a值．
（2）过点$A\left ( { 0,t } \right )$与x轴平行的直线交抛物线于$B,C$两点，且点B为线段$AC$的中点，求t的值．
（3）设$m < 3 < n$，抛物线的一段$y=x ^ { 2 } -ax+5(m\le x\le n)$夹在两条均与x轴平行的直线$l_{ 1 } ,l_{ 2 }$之间．若直线$l_{ 1 } ,l_{ 2 }$之间的距离为16，求$n-m$的最大值．
（1）求a
值．（2）过点$A\left ( { 0,t } \right )$与x轴平行的直线交抛物线于$B,C$两点，且点B为线段$AC$的中点，求t的值．
（3）设$m < 3 < n$，抛物线的一段$y=x ^ { 2 } -ax+5(m\le x\le n)$夹在两条均与x轴平行的直线$l_{ 1 } ,l_{ 2 }$之间．若直线$l_{ 1 } ,l_{ 2 }$之间的距离为16，求$n-m$的最大值．
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答案
(1) $a=6$ >; (2) $t=-3$; (3) 8
24. 在菱形$ABCD$中，$AB=5{\text{，}}AC=8$．
（1）如图1，求$sin\angle BAC$的值．
（2）如图2，E是$AD$延长线上的一点，连接$BE$，作$\vartriangle FBE$与$\vartriangle ABE$关于直线$BE$对称，$EF$交射线$AC$于点P，连接$BP$．
①当$EF\bot AC$时，求$AE$的长．
②求$PA-PB$的最小值．
（1）如图1，求$sin\angle BAC$的值．
（2）如图2，E是$AD$延长线上的一点，连接$BE$，作$\vartriangle FBE$与$\vartriangle ABE$关于直线$BE$对称，$EF$交射线$AC$于点P，连接$BP$．
①当$EF\bot AC$时，求$AE$的长．
②求$PA-PB$的最小值．
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答案
(1) $\frac { 3 } { 5 }$; (2) ①$11$；②$\frac { 3\sqrt[] { 39 }-4 } { 5 }$
3. 国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（ ）
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答案
B
4. 底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ）
- A
- B
- C
- D
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答案
A
5. 已知反比例函数$y=-\frac { 7 } { x }$．下列选项正确的是（ ）
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答案
C
6. 如图，五边形$ABCDE,A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } E ^ { \prime }$是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点$A,A'$的坐标分别为$(2,0),(3,0)$．若$DE$的长为3，则$D'E'$的长为（ ）
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答案
C
7. 手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ）
| 材料 类别 | 彩色纸（张） | 细木条（捆） |
| 手工艺品A | 5 | 3 |
| 手工艺品B | 2 | 1 |
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ）
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答案
C
8. 某书店某一天图书销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A. 科技类图书销售了60册 B. 文艺类图书销售了120册
C
文艺类图书销售占比$30\%$ D. 其他类图书销售占比$18\%$
销售情况如图所示．根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A. 科技类图书销售了60册 B. 文艺类图书销售了120册
C
文艺类图书销售占比$30\%$ D. 其他类图书销售占比$18\%$查看答案解析
答案
D
9. 如图，在${ \rm{ R } }{ \rm{ t } }\vartriangle ABC$中，$\angle A=35{}^\circ ,CD$是斜边$AB$上的中线，以点C为圆心，$CD$长为半径作弧，与$AB$的另一个交点为点E．若$AB=2$，则$\overset \frown { DE }$的长为（ ）
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答案
B