2015年上海中考数学真题及答案

D

$m < -4$

【答案】$m < -4$

77

【答案】77

$y = x^2 + 2x + 3$

【答案】$y = x^2 + 2x + 3$

$\dfrac{7}{50}$

【答案】$\dfrac{7}{50}$

14

22.5

【答案】22.5

$8\sqrt{3}-8$

【答案】$8\sqrt{3}-8$

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原式 $= \frac{x^2}{(x+2)^2} \cdot \frac{x+2}{x} - \frac{x-1}{x+2}$

$= \frac{x}{x+2} - \frac{x-1}{x+2}$

$= \frac{x-(x-1)}{x+2}$

$= \frac{1}{x+2}$

当 $x=\sqrt{2}-1$ 时，

原式 $= \frac{1}{\sqrt{2}-1+2} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$

A

【答案】A

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解不等式 $4x > 2x - 6$：
移项得 $4x - 2x > -6$，
合并同类项得 $2x > -6$，
系数化为 1 得 $x > -3$.

解不等式 $\frac{x-1}{3} \leq \frac{x+1}{9}$：
去分母（两边同乘 9）得 $3(x-1) \leq x+1$，
去括号得 $3x - 3 \leq x + 1$，
移项得 $3x - x \leq 1 + 3$，
合并同类项得 $2x \leq 4$，
系数化为 1 得 $x \leq 2$.

综上所述，原不等式组的解集为 $-3 < x \leq 2$.

在数轴上表示该解集时，在 $-3$ 处画空心圆圈，在 $2$ 处画实心圆点，并连接两点之间的线段.

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（1）由点 $A$ 在正比例函数 $y = \frac{4}{3} x$ 的图像上，且纵坐标为 4，
代入得 $4 = \frac{4}{3} x$，解得 $x = 3$。
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(3, 4)$。

又 $\because$ 反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图像经过点 $A(3, 4)$，
$\therefore m = 3 \times 4 = 12$。
$\therefore$ 该反比例函数的解析式为 $y = \frac{12}{x}$。

（2）$\because BC \parallel x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $C$，
$\therefore BC \perp y$ 轴，即 $\triangle ABC$ 中 $BC$ 边上的高在水平方向上，或者更直接地利用几何性质：
$\because AC = AB$，$\therefore$ 点 $A$ 在线段 $BC$ 的垂直平分线上。
$\because BC \parallel x$ 轴，$\therefore$ 线段 $BC$ 的垂直平分线是一条竖直线，其横坐标等于点 $A$ 的横坐标。
$\therefore$ 线段 $BC$ 的中点横坐标为 3。
$\because$ 点 $C$ 在 $y$ 轴上，$\therefore$ 点 $C$ 的横坐标为 0。
设点 $B$ 的横坐标为 $x_B$，则 $\frac{0 + x_B}{2} = 3$，解得 $x_B = 6$。

$\because$ 点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{12}{x}$ 的图像上，
$\therefore$ 当 $x = 6$ 时，$y = \frac{12}{6} = 2$。
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(6, 2)$。

设直线 $AB$ 的表达式为 $y = kx + b$。
将 $A(3, 4)$，$B(6, 2)$ 代入得：
$\begin{cases} 3k + b = 4 \\ 6k + b = 2 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k = -\frac{2}{3} \\ b = 6 \end{cases}$。
$\therefore$ 直线 $AB$ 的表达式为 $y = -\frac{2}{3}x + 6$。

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(1) 由抛物线解析式 $y = ax^2 - 4$，令 $x=0$，得 $y=-4$，故点 $B$ 坐标为 $(0, -4)$。
在 Rt$\triangle AOB$ 中，已知 $AB = 2\sqrt{5}$，$OB = 4$。
由勾股定理得 $OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 4^2} = \sqrt{20 - 16} = 2$。
因为点 $A$ 在 $x$ 轴负半轴，所以点 $A$ 坐标为 $(-2, 0)$。
将点 $A(-2, 0)$ 代入抛物线方程 $y = ax^2 - 4$，得：
$0 = a(-2)^2 - 4 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1$。
所以抛物线的解析式为 $y = x^2 - 4$。

(2) 设点 $P$ 的横坐标为 $m$，则 $P(m, m^2 - 4)$。
由题意知线段 $AP$ 与 $y$ 轴正半轴相交，且 $A(-2,0)$，故点 $P$ 必在第一象限，即 $m > 0$ 且 $m^2 - 4 > 0$（即 $m > 2$）。
过点 $P$ 作 $PH \perp x$ 轴于点 $H$，则 $H(m, 0)$，$PH = m^2 - 4$，$AH = m - (-2) = m + 2$。
因为 $CO \parallel PH$（均垂直于 $x$ 轴），所以 $\triangle AOC \sim \triangle AHP$。
由相似三角形性质得：$\frac{CO}{PH} = \frac{AO}{AH}$。
即 $\frac{CO}{m^2 - 4} = \frac{2}{m + 2}$。
解得 $CO = \frac{2(m^2 - 4)}{m + 2} = \frac{2(m - 2)(m + 2)}{m + 2} = 2m - 4$。
所以线段 $CO$ 的长度为 $2m - 4$。

(3) 过点 $P$ 作 $PG \perp y$ 轴于点 $G$，则 $G(0, m^2 - 4)$，$PG = m$，$BG = (m^2 - 4) - (-4) = m^2$。
因为 $OD \parallel PG$（均垂直于 $y$ 轴），所以 $\triangle BOD \sim \triangle BGP$。
由相似三角形性质得：$\frac{OD}{PG} = \frac{BO}{BG}$。
即 $\frac{OD}{m} = \frac{4}{m^2}$，解得 $OD = \frac{4}{m}$。
在 Rt$\triangle COD$ 中，$\tan \angle ODC = \frac{CO}{OD}$。
已知 $\tan \angle ODC = \frac{3}{2}$，代入 $CO = 2m - 4$ 和 $OD = \frac{4}{m}$：
$\frac{2m - 4}{\frac{4}{m}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{m(2m - 4)}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2m^2 - 4m = 6 \Rightarrow m^2 - 2m - 3 = 0$。
解方程得 $(m - 3)(m + 1) = 0$，即 $m = 3$ 或 $m = -1$。
因为 $m > 2$，所以舍去 $m = -1$，取 $m = 3$。
当 $m = 3$ 时，$CO = 2(3) - 4 = 2$。
在 Rt$\triangle AOC$ 中，$AO = 2$，$CO = 2$。
由勾股定理得 $AC = \sqrt{AO^2 + CO^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
因为点 $D$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在 $y$ 轴上，$\angle PAD$ 即为 $\angle CAO$（或 $\angle OAC$）。
所以 $\sin \angle PAD = \sin \angle OAC = \frac{CO}{AC} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

C

【答案】C

B

【答案】B

C

【答案】C

2

【答案】2

$x \neq -3$

【答案】$x \neq -3$