2008年深圳中考数学真题及答案

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原式各项化简如下：

1. 绝对值部分：$\left| -3 \right| = 3$。
2. 三角函数部分：$\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，故 $\sqrt{3} \cdot \tan 30^{\circ} = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 1$。
3. 立方根部分：$\sqrt[3]{8} = 2$。
4. 零指数幂部分：题目中 $(2008-\pi)^{\circ}$ 应理解为 $(2008-\pi)^0$（非零实数的零次幂为1），即 $(2008-\pi)^0 = 1$。

将上述结果代入原式计算：
$$ \begin{aligned} \text{原式} &= 3 + 1 - 2 - 1 \\ &= 4 - 3 \\ &= 1 \end{aligned} $$

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**化简过程：**

原式 $= \left( \frac{a}{a+2} + \frac{2}{a-2} \right) \div \frac{1}{a^2-4}$

将除法转换为乘法，并分解因式 $a^2-4 = (a+2)(a-2)$：
$$ \text{原式} = \left( \frac{a}{a+2} + \frac{2}{a-2} \right) \cdot (a+2)(a-2) $$

利用乘法分配律展开：
$$ \begin{aligned} \text{原式} &= \frac{a}{a+2} \cdot (a+2)(a-2) + \frac{2}{a-2} \cdot (a+2)(a-2) \\ &= a(a-2) + 2(a+2) \\ &= a^2 - 2a + 2a + 4 \\ &= a^2 + 4 \end{aligned} $$

**求值过程：**

要使原分式有意义，分母不能为零，即：
1. $a+2 \neq 0 \Rightarrow a \neq -2$
2. $a-2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 2$
3. 除数 $\frac{1}{a^2-4} \neq 0$，即 $a^2-4 \neq 0 \Rightarrow a \neq \pm 2$

综上，$a$ 的取值需满足 $a \neq 2$ 且 $a \neq -2$。

选取一个合适的 $a$ 值，例如取 $a=1$（也可取 $0, 3, -1$ 等，只要不等于 $\pm 2$）：
当 $a=1$ 时，
$$ \text{原式} = 1^2 + 4 = 5 $$

（注：若取其他合法值，结果相应变化。例如取 $a=0$，结果为 $4$；取 $a=3$，结果为 $13$。）

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（1）证明：
$\because AE \parallel BD$，
$\therefore \angle E = \angle BDC$（两直线平行，同位角相等）。
$\because DB$ 平分 $\angle ADC$，
$\therefore \angle ADC = 2\angle BDC$。
又 $\because \angle C = 2\angle E$，
$\therefore \angle C = 2\angle BDC$。
$\therefore \angle ADC = \angle C$。
在梯形 $ABCD$ 中，同一底上的两个角相等，
$\therefore$ 梯形 $ABCD$ 是等腰梯形。

（2）解：
由（1）可知，梯形 $ABCD$ 为等腰梯形，
$\therefore BC = AD = 5$。
$\because \angle BDC = 30^\circ$，且 $\angle C = 2\angle E = 2\angle BDC$，
$\therefore \angle C = 60^\circ$。
在 $\triangle BCD$ 中，
$\angle DBC = 180^\circ - \angle C - \angle BDC = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$。
$\therefore \triangle BCD$ 是直角三角形。
$\therefore CD = \frac{BC}{\sin \angle BDC} = \frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{1/2} = 10$（或由 $30^\circ$ 角所对直角边等于斜边一半得 $CD = 2BC = 10$）。

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（1）由图6可知，A品牌销售400个，C品牌销售1200个。由图7可知，C品牌占总销售量的$50\%$。
因为C品牌的占比最大且具体数值最高，所以C品牌粽子的销售量最大。

（2）根据图7，C品牌销售量占总量的$50\%$，结合图6中C品牌销售量为1200个，可计算今年端午节三种品牌粽子的总销售量：
$$ \text{总销售量} = 1200 \div 50\% = 2400 \text{（个）} $$
则B品牌粽子的销售量为：
$$ 2400 - 1200 - 400 = 800 \text{（个）} $$
补全图6中的条形统计图：在横轴“B品牌”上方绘制高度对应纵轴800的直条。

（3）A品牌粽子在图7中所对应的圆心角度数为：
$$ 360^\circ \times \frac{\text{A品牌销售量}}{\text{总销售量}} = 360^\circ \times \frac{400}{2400} = 360^\circ \times \frac{1}{6} = 60^\circ $$

（4）根据统计结果，C品牌销量最好，A品牌销量最低。
建议：明年端午节期间，该商场应多进C品牌粽子，适当增加B品牌进货量，减少A品牌进货量。（注：只要依据数据提出合理建议即可得分）

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（1）设打包成件的帐篷有 $x$ 件，食品有 $y$ 件。
根据题意，得方程组：
$$ \begin{cases} x + y = 320 \\ x - y = 80 \end{cases} $$
解得：
$$ \begin{cases} x = 200 \\ y = 120 \end{cases} $$
答：打包成件的帐篷为 200 件，食品为 120 件。

（2）设租用甲种货车 $m$ 辆，则租用乙种货车 $(8-m)$ 辆。
根据物资总量及车辆装载能力，需满足以下不等式组：
$$ \begin{cases} 40m + 20(8-m) \ge 200 \quad (\text{帐篷数量限制}) \\ 10m + 20(8-m) \ge 120 \quad (\text{食品数量限制}) \end{cases} $$
化简第一个不等式：
$40m + 160 - 20m \ge 200 \implies 20m \ge 40 \implies m \ge 2$
化简第二个不等式：
$10m + 160 - 20m \ge 120 \implies -10m \ge -40 \implies m \le 4$
综上所述，$2 \le m \le 4$。
因为 $m$ 为正整数，所以 $m$ 可以取 2, 3, 4。
共有 3 种方案：
方案一：甲种货车 2 辆，乙种货车 6 辆；
方案二：甲种货车 3 辆，乙种货车 5 辆；
方案三：甲种货车 4 辆，乙种货车 4 辆。

（3）设总运输费为 $W$ 元。
$W = 4000m + 3600(8-m) = 4000m + 28800 - 3600m = 400m + 28800$。
因为 $k = 400 > 0$，所以 $W$ 随 $m$ 的增大而增大。
要使运输费最少，应取 $m$ 的最小值。
由（2）知 $m$ 的最小值为 2。
当 $m=2$ 时，
$W_{\min} = 400 \times 2 + 28800 = 800 + 28800 = 29600$（元）。
此时乙种货车数量为 $8-2=6$ 辆。
答：应选择方案一（甲种货车 2 辆，乙种货车 6 辆），最少运输费是 29600 元。