2010年深圳中考数学真题及答案

(1) 、120; (2) 、 $48^{\circ}$; (3) $2.18 \times 10^{3}$

【答案】（1）、120；（2）、 $48^{\circ}$ ；③ $2.18 \times 10^{3}$

C

【答案】C

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(1) 设 $M$ 型服装的进价为 $a$ 元。
根据题意，标价为 75 元，按 8 折销售，则实际售价为 $75 \times 0.8 = 60$ 元。
此时获利 $50\%$，即利润率为 $50\%$，故有：
$$ a(1 + 50\%) = 60 $$
解得：
$$ 1.5a = 60 \implies a = 40 $$
所以，$M$ 型服装的进价为 40 元。

(2) 促销期间，每件在 8 折（即 60 元）的基础上再降价 $x$ 元，则每件的实际售价为 $(60 - x)$ 元。
每件的利润为：售价 - 进价 $= (60 - x) - 40 = 20 - x$ （元）。
每天的销售数量为 $y = 20 + 4x$ （件）。
设每天获得的利润为 $W$ 元，则：
$$ W = (\text{每件利润}) \times (\text{销售数量}) $$
$$ W = (20 - x)(20 + 4x) $$
展开整理得：
$$ W = 400 + 80x - 20x - 4x^2 $$
$$ W = -4x^2 + 60x + 400 $$
这是一个开口向下的二次函数，当 $x = -\frac{b}{2a}$ 时取得最大值。
$$ x = -\frac{60}{2 \times (-4)} = \frac{60}{8} = 7.5 $$
此时最大利润为：
$$ W_{\max} = -4 \times (7.5)^2 + 60 \times 7.5 + 400 $$
$$ W_{\max} = -4 \times 56.25 + 450 + 400 $$
$$ W_{\max} = -225 + 850 = 625 $$
或者配方：
$$ W = -4(x^2 - 15x) + 400 = -4(x - 7.5)^2 + 4 \times 7.5^2 + 400 = -4(x - 7.5)^2 + 625 $$
因为 $x > 0$，且 $x=7.5$ 符合题意（售价 $60-7.5=52.5 > 40$，仍有利润），
所以当降价 7.5 元时，每天获得的最大利润为 625 元。

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(1) 将点 $A(-2,0)$，$B(-1,-3)$ 代入抛物线方程 $y=ax^2+c$，得：
$$ \begin{cases} 4a+c=0 \\ a+c=-3 \end{cases} $$
解得 $\begin{cases} a=1 \\ c=-4 \end{cases}$。
故抛物线的解析式为 $y=x^2-4$。

(2) 由抛物线的对称性可知，点 $A(-2,0)$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $D(2,0)$。
根据“将军饮马”模型，当 $M$ 为线段 $BD$ 与 $y$ 轴的交点时，$MA+MB = MD+MB = BD$ 最小。
设直线 $BD$ 的解析式为 $y=kx+b$。
因为 $B(-1,-3)$，$D(2,0)$，代入得：
$$ \begin{cases} -k+b=-3 \\ 2k+b=0 \end{cases} $$
解得 $\begin{cases} k=1 \\ b=-2 \end{cases}$。
所以直线 $BD$ 的解析式为 $y=x-2$。
令 $x=0$，得 $y=-2$。
故此时点 $M$ 的坐标为 $(0,-2)$。

(3) 由 (2) 知 $M(0,-2)$，$A(-2,0)$，$B(-1,-3)$。
计算 $\triangle ABM$ 的面积：
方法一（割补法）：
$S_{\triangle ABM} = S_{\text{梯形}ABEO} - S_{\triangle AOM} - S_{\triangle BEM'}$ （此处构建辅助矩形或梯形较繁琐，采用向量或行列式更直接，或者利用几何性质）。
观察坐标特征：
$\vec{MA} = (-2, 2)$，$\vec{MB} = (-1, -1)$。
$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (-2)(-1) + 2(-1) = 2 - 2 = 0$，故 $MA \perp MB$。
$|\vec{MA}| = \sqrt{(-2)^2+2^2} = 2\sqrt{2}$，
$|\vec{MB}| = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$。
$S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} |\vec{MA}| |\vec{MB}| = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$。

由题意 $S_{\triangle PAD} = 4S_{\triangle ABM} = 4 \times 2 = 8$。
在 $\triangle PAD$ 中，底边 $AD$ 在 $x$ 轴上。
由 $A(-2,0)$ 及抛物线对称性知 $D(2,0)$，故 $AD = 4$。
设 $P(x,y)$，则 $\triangle PAD$ 的高为 $|y|$。
$S_{\triangle PAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot |y| = \frac{1}{2} \times 4 \times |y| = 2|y|$。
令 $2|y| = 8$，解得 $|y|=4$，即 $y=4$ 或 $y=-4$。

① 当 $y=4$ 时，代入抛物线方程 $x^2-4=4$，得 $x^2=8$，解得 $x=\pm 2\sqrt{2}$。
此时点 $P$ 坐标为 $(2\sqrt{2}, 4)$ 或 $(-2\sqrt{2}, 4)$。

② 当 $y=-4$ 时，代入抛物线方程 $x^2-4=-4$，得 $x^2=0$，解得 $x=0$。
此时点 $P$ 坐标为 $(0, -4)$。

综上所述，满足条件的点 $P$ 有三个：$(2\sqrt{2}, 4)$，$(-2\sqrt{2}, 4)$，$(0, -4)$。

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