2011年深圳中考数学真题及答案

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方程两边同时乘以最简公分母 $(x+1)(x-1)$，去分母得：
$$2x(x-1) + 3(x+1) = 2(x+1)(x-1)$$

展开括号并整理各项：
$$2x^2 - 2x + 3x + 3 = 2(x^2 - 1)$$
$$2x^2 + x + 3 = 2x^2 - 2$$

移项合并同类项，消去二次项 $2x^2$：
$$x = -2 - 3$$
$$x = -5$$

检验：当 $x = -5$ 时，最简公分母 $(x+1)(x-1) = (-4) \times (-6) = 24 \neq 0$。
故 $x = -5$ 是原分式方程的解。

(1) 200; (2) 36; (3) 如图 1; (4) 180

【答案】（1）200； （2）36； （3）如图 1； （4）180

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**（1）填表与求函数关系式**

根据题意分析各路线的运输量：
* **甲地 $\to$ A馆**：设为 $x$ 台。
* **甲地 $\to$ B馆**：甲地共生产17台，故运往B馆为 $(17-x)$ 台。
* **乙地 $\to$ A馆**：A馆共需18台，甲地已供 $x$ 台，故乙地需供 $(18-x)$ 台。
* **乙地 $\to$ B馆**：乙地共生产15台，运往A馆 $(18-x)$ 台，故运往B馆为 $15-(18-x) = (x-3)$ 台。（也可由B馆总需14台减去甲地供应量得出：$14-(17-x)=x-3$）。

**表2填写如下：**

| | 甲地 | 乙地 |
| :--- | :---: | :---: |
| **A馆** | $x$ | $18-x$ |
| **B馆** | $17-x$ | $x-3$ |

确定自变量 $x$ 的取值范围：
由于各路线运输量均不能为负数，需满足：
$\begin{cases} x \ge 0 \\ 17-x \ge 0 \\ 18-x \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 17 \\ x \le 18 \\ x \ge 3 \end{cases}$
综上，$3 \le x \le 17$，且 $x$ 为整数。

计算总费用 $y$：
根据图1中的单价（甲$\to$A: 800, 甲$\to$B: 500, 乙$\to$A: 700, 乙$\to$B: 600），列式如下：
$$ \begin{aligned} y &= 800x + 500(17-x) + 700(18-x) + 600(x-3) \\ &= 800x + 8500 - 500x + 12600 - 700x + 600x - 1800 \\ &= (800 - 500 - 700 + 600)x + (8500 + 12600 - 1800) \\ &= 200x + 19300 \end{aligned} $$
故函数关系式为：$y = 200x + 19300$ $(3 \le x \le 17)$。

**（2）设计调配方案**

要求总费用不高于 20200 元，即：
$$200x + 19300 \le 20200$$
移项得：
$$200x \le 900$$
解得：
$$x \le 4.5$$

结合（1）中得出的范围 $3 \le x \le 17$ 且 $x$ 为整数，可知 $x$ 可取的值为 3 或 4。

因此共有两种调配方案：
* **方案一（当 $x=3$ 时）**：
* 甲地：运往A馆 3 台，运往B馆 $17-3=14$ 台；
* 乙地：运往A馆 $18-3=15$ 台，运往B馆 $3-3=0$ 台。
* **方案二（当 $x=4$ 时）**：
* 甲地：运往A馆 4 台，运往B馆 $17-4=13$ 台；
* 乙地：运往A馆 $18-4=14$ 台，运往B馆 $4-3=1$ 台。

**（3）求最小总运费**

由（1）知 $y = 200x + 19300$。
因为 $k = 200 > 0$，所以 $y$ 随 $x$ 的增大而增大。
要使总运费 $y$ 最小，自变量 $x$ 应取最小值。
在范围 $3 \le x \le 17$ 中，$x$ 的最小值为 3。

当 $x=3$ 时，
$$y_{\min} = 200 \times 3 + 19300 = 600 + 19300 = 19900 \text{（元）}$$

答：当 $x$ 为 3 时，总运费最小，最小值是 19900 元。