2014年深圳中考数学真题及答案

A

B

B

D

$2 \ ( \mathbf { x } + 2 ) ( \mathbf { x } - 2 )$

3

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485

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原式各项化简如下：

1. 二次根式化简：$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$。
2. 特殊角三角函数值：$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$，故 $2\tan 60^{\circ} = 2\sqrt{3}$。
3. 零指数幂：因为 $\sqrt{2014} - 1 \neq 0$，所以 $(\sqrt{2014} - 1)^0 = 1$。
4. 负整数指数幂：$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$。

将上述结果代入原式计算：
$$ \begin{aligned} \text{原式} &= 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 1 - 3 \\ &= (2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + (1 - 3) \\ &= 0 - 2 \\ &= -2 \end{aligned} $$

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原式 $= \left( \frac{3x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} \right) \cdot \frac{(x+2)(x-2)}{x}$

$= \frac{3x^2 + 6x - x^2 + 2x}{(x+2)(x-2)} \cdot \frac{(x+2)(x-2)}{x}$

$= \frac{2x^2 + 8x}{(x+2)(x-2)} \cdot \frac{(x+2)(x-2)}{x}$

$= \frac{2x(x+4)}{(x+2)(x-2)} \cdot \frac{(x+2)(x-2)}{x}$

$= 2(x+4)$

$= 2x + 8$

要使原分式有意义，需满足分母不为零且除数不为零，即：
$\begin{cases} x-2 \neq 0 \\ x+2 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$
解得 $x \neq 2$ 且 $x \neq -2$ 且 $x \neq 0$。

在给定的数值 $-2, 0, 1, 2$ 中，只有 $x=1$ 符合条件。

当 $x=1$ 时，原式 $= 2 \times 1 + 8 = 10$。

200，0.4，60，补全条形统计图如下：

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（1）证明：
设 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$。
$\because BD$ 垂直平分 $AC$，
$\therefore AB=BC, AD=CD$，且 $BD \perp AC$。
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ 中，
$\begin{cases} AB=CB \\ AD=CD \\ BD=BD \end{cases}$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle CBD (SSS)$。
$\therefore \angle BAD = \angle BCD$。
又 $\because \angle ADF = \angle BCD$，
$\therefore \angle BAD = \angle ADF$。
$\therefore AB \parallel FD$ （内错角相等，两直线平行）。

$\because AF \perp AC, BD \perp AC$，
$\therefore AF \parallel BD$ （垂直于同一条直线的两条直线平行）。
$\because AB \parallel FD, AF \parallel BD$，
$\therefore$ 四边形 $ABDF$ 是平行四边形。

（2）解：
$\because$ 四边形 $ABDF$ 是平行四边形，且 $AF=DF=5$，
$\therefore$ 四边形 $ABDF$ 是菱形。
$\therefore AB=BD=AF=DF=5$。
$\because BD$ 垂直平分 $AC$，设垂足为 $E$，则 $AC=2AE$，且 $BD \perp AC$。
在 Rt$\triangle ABE$ 和 Rt$\triangle ADE$ 中，由勾股定理得：
$AE^2 = AB^2 - BE^2$，
$AE^2 = AD^2 - DE^2$。
$\therefore AB^2 - BE^2 = AD^2 - DE^2$。
设 $BE=x$，则 $DE = BD - BE = 5-x$。
代入数据：$5^2 - x^2 = 6^2 - (5-x)^2$。
$25 - x^2 = 36 - (25 - 10x + x^2)$，
$25 - x^2 = 11 + 10x - x^2$，
$10x = 14$，
解得 $x = \frac{7}{5}$，即 $BE = \frac{7}{5}$。
$\therefore AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{7}{5})^2} = \sqrt{25 - \frac{49}{25}} = \sqrt{\frac{625-49}{25}} = \sqrt{\frac{576}{25}} = \frac{24}{5}$。
$\therefore AC = 2AE = 2 \times \frac{24}{5} = \frac{48}{5}$。

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（1）设乙种文具的进货价为 $x$ 元，则甲种文具的进货价为 $(x+10)$ 元。
根据“用90元购买乙种文具的数量与用150元买甲种文具的数量相同”，可列方程：
$$ \frac{90}{x} = \frac{150}{x+10} $$
方程两边同乘 $x(x+10)$，得：
$$ 90(x+10) = 150x $$
解得：
$$ 90x + 900 = 150x $$
$$ 60x = 900 $$
$$ x = 15 $$
经检验，$x=15$ 是原分式方程的解，且符合题意。
则甲种文具进货价为 $15 + 10 = 25$（元）。
答：甲种文具进货价为25元，乙种文具进货价为15元。

（2）设购进甲种文具 $m$ 件，则购进乙种文具 $(100-m)$ 件。
由题意可知：
1. 进货总价少于2080元：
$$ 25m + 15(100-m) < 2080 $$
2. 销售额大于2460元。因售价在进价基础上提高20%，即售价为进价的 $1.2$ 倍，故：
$$ 25m \times (1+20\%) + 15(100-m) \times (1+20\%) > 2460 $$
化简上述不等式组：
对于第一个不等式：
$$ 25m + 1500 - 15m < 2080 $$
$$ 10m < 580 $$
$$ m < 58 $$
对于第二个不等式，两边同时除以 $1.2$：
$$ 25m + 15(100-m) > \frac{2460}{1.2} $$
$$ 25m + 1500 - 15m > 2050 $$
$$ 10m > 550 $$
$$ m > 55 $$
综上所述，$m$ 的取值范围为：
$$ 55 < m < 58 $$
因为 $m$ 为整数，所以 $m$ 可以取 $56, 57$。
当 $m=56$ 时，乙种文具数量为 $100-56=44$ 件；
当 $m=57$ 时，乙种文具数量为 $100-57=43$ 件。
答：共有两种进货方案：
方案一：购进甲种文具56件，乙种文具44件；
方案二：购进甲种文具57件，乙种文具43件。

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（1）由题意知，$\odot M$ 过原点 $O(0,0)$，且与坐标轴交于 $A(4,0)$、$B(0,3)$。
因为 $\angle AOB = 90^\circ$，所以线段 $AB$ 是 $\odot M$ 的直径。
在 Rt$\triangle AOB$ 中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
所以 $\odot M$ 的半径 $r = \frac{1}{2}AB = \frac{5}{2}$。

（2）圆心 $M$ 为线段 $AB$ 的中点，其坐标为 $(\frac{0+4}{2}, \frac{3+0}{2})$，即 $M(2, \frac{3}{2})$。
因为点 $C$ 为劣弧 $AO$ 的中点，根据垂径定理的推论，连接 $MC$ 必垂直平分弦 $AO$。
因为 $A(4,0), O(0,0)$，所以 $AO$ 的中点横坐标为 $2$，即直线 $MC$ 的方程为 $x=2$。
又因为 $MC$ 为半径，长度为 $\frac{5}{2}$，且 $C$ 在 $x$ 轴下方（劣弧），
所以点 $C$ 的纵坐标为 $y_M - r = \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = -1$。
故点 $C$ 的坐标为 $(2, -1)$。

设直线 $AC$ 与 $x$ 轴交于点 $K$，则 $K(2,0)$。
在 $\triangle ACK$ 中，$AK = 4-2=2$，$CK = 0-(-1)=1$。
已知 $DC = 4CA$，则 $DA = DC + CA = 5CA$，即 $\frac{DA}{CA} = 5$。
过点 $D$ 作 $DH \perp x$ 轴于 $H$。
因为 $CK \parallel DH$（均垂直于 $x$ 轴），所以 $\triangle ACK \sim \triangle ADH$。
由相似比可得：
$\frac{DH}{CK} = \frac{AH}{AK} = \frac{AD}{AC} = 5$。
所以 $DH = 5 CK = 5 \times 1 = 5$，$AH = 5 AK = 5 \times 2 = 10$。
因为点 $D$ 在第三象限方向（由图及 $A,C$ 位置可知 $D$ 在 $A$ 左侧且向下），
$x_D = x_A - AH = 4 - 10 = -6$，
$y_D = y_A - DH = 0 - 5 = -5$。
即点 $D$ 的坐标为 $(-6, -5)$。

接下来计算直线 $AB$ 和直线 $BD$ 的斜率：
$k_{AB} = \frac{3-0}{0-4} = -\frac{3}{4}$。
$k_{BD} = \frac{-5-3}{-6-0} = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3}$。
因为 $k_{AB} \cdot k_{BD} = (-\frac{3}{4}) \times \frac{4}{3} = -1$，
所以 $AB \perp BD$。
因为 $AB$ 是 $\odot M$ 的直径，且 $BD$ 经过直径端点 $B$ 并垂直于直径，
所以 $BD$ 为 $\odot M$ 的切线。

（3）要求 $|DP - AP|$ 的最大值。
由（2）知，直线 $MC$ 的方程为 $x=2$，它是线段 $AO$ 的垂直平分线。
根据垂直平分线的性质，直线 $MC$ 上任意一点 $P$ 到 $A$、$O$ 的距离相等，即 $PA = PO$。
所以 $|DP - AP| = |DP - PO|$。
在 $\triangle DPO$ 中，由三角形三边关系可知 $|DP - PO| \le DO$。
当且仅当 $D, P, O$ 三点共线，且 $P$ 位于射线 $OD$ 的反向延长线上或线段 $DO$ 之外时（此处 $P$ 为直线 $DO$ 与直线 $MC$ 的交点），等号成立，此时取得最大值，最大值为线段 $DO$ 的长度。

首先求直线 $DO$ 的解析式：
$D(-6, -5)$，$O(0, 0)$。
设直线 $DO$ 为 $y = kx$，代入 $D$ 点坐标得 $-5 = -6k$，解得 $k = \frac{5}{6}$。
所以直线 $DO$ 的解析式为 $y = \frac{5}{6}x$。

求点 $P$ 的坐标：
点 $P$ 是直线 $DO$ 与直线 $MC$ ($x=2$) 的交点。
将 $x=2$ 代入 $y = \frac{5}{6}x$，得 $y = \frac{5}{6} \times 2 = \frac{5}{3}$。
所以点 $P$ 的坐标为 $(2, \frac{5}{3})$。

求最大值：
最大值为 $DO$ 的长度：
$DO = \sqrt{(-6-0)^2 + (-5-0)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61}$。

综上所述，存在这样的点 $P$，其坐标为 $(2, \frac{5}{3})$，$|DP - AP|$ 的最大值为 $\sqrt{61}$。

B

A

D

D

【答案】D

C

C