17.（5分）计算： $\left| - 2 \right| - 2 \mathrm { c o s } 6 0 ^ { \mathrm { { 0 } } } + ( \frac { 1 } { 6 } ) ^ { - 1 } - ( \pi - \sqrt { 3 } ) ^ { \mathrm { { 0 } } }$
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答案
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2016年深圳中考数学真题及答案
2016年深圳中考数学真题、参考答案与解析，共收录 3 道公开题。在线查看题干与答案，结合本地当年试题进行考后核对、错题订正和中考复习。
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试卷题目
3 道21.（8分）荔枝是深圳特色水果，小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了1千克桂味和2千克糯米糍，共花费55元.（每次两种荔枝的售价都不变）（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元;
(2)如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的两倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低.
(2)如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的两倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低.
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答案
(1) 桂味售价为每千克15元，糯米味售价为每千克20元; (2) 购买桂味4千克，糯米味8千克
22.（9分）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使$AP=OA$，链接PC。
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）。问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由。
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）。问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由。
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答案
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Explanation
（1）连接 $OC$。
由翻折性质可知，点 $A$ 与圆心 $O$ 关于弦 $CD$ 对称，故 $CD$ 垂直平分线段 $OA$。
$\because \odot O$ 半径为 $2$，即 $OA=OC=2$，
$\therefore OM = \frac{1}{2}OA = 1$，且 $CD \perp AB$。
在 Rt$\triangle OMC$ 中，由勾股定理得：
$CM = \sqrt{OC^2 - OM^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。
由垂径定理知 $CD = 2CM$，
$\therefore CD = 2\sqrt{3}$。
（2）$\because AP = OA = 2$，$OM = 1$，
$\therefore PM = PA + AM = 2 + 1 = 3$。
在 Rt$\triangle PMC$ 中，$PC^2 = PM^2 + CM^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 = 9 + 3 = 12$。
又 $\because OC = 2$，$PO = PA + AO = 2 + 2 = 4$，
$\therefore PC^2 + OC^2 = 12 + 2^2 = 16$，
而 $PO^2 = 4^2 = 16$，
$\therefore PC^2 + OC^2 = PO^2$。
根据勾股定理逆定理，$\triangle POC$ 为直角三角形，且 $\angle PCO = 90^\circ$。
$\because OC$ 为 $\odot O$ 半径，
$\therefore PC$ 是 $\odot O$ 的切线。
（3）$GE \cdot GF$ 为定值。理由如下：
连接 $GA, GB$。
$\because G$ 为弧 $ADB$ 的中点，且 $AB$ 为直径，
$\therefore \widehat{AG} = \widehat{BG}$，即 $G$ 为半圆弧的中点。
$\therefore \angle AOG = \angle BOG = 90^\circ$，且 $GA = GB$。
在 Rt$\triangle AOG$ 中，$OA=OG=2$，
$\therefore AG = \sqrt{OA^2 + OG^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
$\because \widehat{AG} = \widehat{BG}$，
$\therefore \angle ABG = \angle BAG = 45^\circ$（圆周角等于所对弧度数的一半，或由等腰直角三角形得出）。
又 $\because \angle AFG$ 与 $\angle ABG$ 均为弧 $AG$ 所对的圆周角，
$\therefore \angle AFG = \angle ABG = 45^\circ$。
$\therefore \angle AFG = \angle EAG$（即 $\angle BAG$）。
又 $\because \angle AGE = \angle FGA$（公共角），
$\therefore \triangle AGE \sim \triangle FGA$。
$\therefore \frac{AG}{FG} = \frac{GE}{AG}$，即 $GE \cdot GF = AG^2$。
$\therefore GE \cdot GF = (2\sqrt{2})^2 = 8$。
故 $GE \cdot GF$ 为定值 $8$。
由翻折性质可知，点 $A$ 与圆心 $O$ 关于弦 $CD$ 对称，故 $CD$ 垂直平分线段 $OA$。
$\because \odot O$ 半径为 $2$，即 $OA=OC=2$，
$\therefore OM = \frac{1}{2}OA = 1$，且 $CD \perp AB$。
在 Rt$\triangle OMC$ 中，由勾股定理得：
$CM = \sqrt{OC^2 - OM^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。
由垂径定理知 $CD = 2CM$，
$\therefore CD = 2\sqrt{3}$。
（2）$\because AP = OA = 2$，$OM = 1$，
$\therefore PM = PA + AM = 2 + 1 = 3$。
在 Rt$\triangle PMC$ 中，$PC^2 = PM^2 + CM^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 = 9 + 3 = 12$。
又 $\because OC = 2$，$PO = PA + AO = 2 + 2 = 4$，
$\therefore PC^2 + OC^2 = 12 + 2^2 = 16$，
而 $PO^2 = 4^2 = 16$，
$\therefore PC^2 + OC^2 = PO^2$。
根据勾股定理逆定理，$\triangle POC$ 为直角三角形，且 $\angle PCO = 90^\circ$。
$\because OC$ 为 $\odot O$ 半径，
$\therefore PC$ 是 $\odot O$ 的切线。
（3）$GE \cdot GF$ 为定值。理由如下：
连接 $GA, GB$。
$\because G$ 为弧 $ADB$ 的中点，且 $AB$ 为直径，
$\therefore \widehat{AG} = \widehat{BG}$，即 $G$ 为半圆弧的中点。
$\therefore \angle AOG = \angle BOG = 90^\circ$，且 $GA = GB$。
在 Rt$\triangle AOG$ 中，$OA=OG=2$，
$\therefore AG = \sqrt{OA^2 + OG^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
$\because \widehat{AG} = \widehat{BG}$，
$\therefore \angle ABG = \angle BAG = 45^\circ$（圆周角等于所对弧度数的一半，或由等腰直角三角形得出）。
又 $\because \angle AFG$ 与 $\angle ABG$ 均为弧 $AG$ 所对的圆周角，
$\therefore \angle AFG = \angle ABG = 45^\circ$。
$\therefore \angle AFG = \angle EAG$（即 $\angle BAG$）。
又 $\because \angle AGE = \angle FGA$（公共角），
$\therefore \triangle AGE \sim \triangle FGA$。
$\therefore \frac{AG}{FG} = \frac{GE}{AG}$，即 $GE \cdot GF = AG^2$。
$\therefore GE \cdot GF = (2\sqrt{2})^2 = 8$。
故 $GE \cdot GF$ 为定值 $8$。