12. 如图，在平面直角坐标系中，点 ， 均在反比例函数 $y = \frac { k } { x } \big ( k \neq 0 \big )$ 的图象上，且OA = OB ，则 $k$ 的值为\_
12. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A { \big ( } 2 , m { \big ) } ^ { \prime } B { \big ( } 3 , n { \big ) }$ 均在反比例函数 $y = \frac { k } { x } \big ( k \neq 0 \big )$ 的图象上，且$O A = O B$ ，则 的值为
12. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A { \big ( } 2 , m { \big ) } ^ { \prime } B { \big ( } 3 , n { \big ) }$ 均在反比例函数 $y = \frac { k } { x } \big ( k \neq 0 \big )$ 的图象上，且$O A = O B$ ，则 的值为
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答案
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Explanation
由点 $A(2, m)$，$B(3, n)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，可得：
$$m = \frac{k}{2}, \quad n = \frac{k}{3}$$
根据两点间距离公式（或勾股定理），$OA^2 = 2^2 + m^2$，$OB^2 = 3^2 + n^2$。
因为 $OA = OB$，所以 $OA^2 = OB^2$，即：
$$4 + m^2 = 9 + n^2$$
将 $m, n$ 的表达式代入上式：
$$4 + \left(\frac{k}{2}\right)^2 = 9 + \left(\frac{k}{3}\right)^2$$
$$4 + \frac{k^2}{4} = 9 + \frac{k^2}{9}$$
移项整理得：
$$\frac{k^2}{4} - \frac{k^2}{9} = 5$$
$$\frac{9k^2 - 4k^2}{36} = 5$$
$$\frac{5k^2}{36} = 5$$
$$k^2 = 36$$
解得 $k = \pm 6$。
观察图象可知，反比例函数图象位于第一象限，故 $k > 0$。
所以 $k = 6$。
$$m = \frac{k}{2}, \quad n = \frac{k}{3}$$
根据两点间距离公式（或勾股定理），$OA^2 = 2^2 + m^2$，$OB^2 = 3^2 + n^2$。
因为 $OA = OB$，所以 $OA^2 = OB^2$，即：
$$4 + m^2 = 9 + n^2$$
将 $m, n$ 的表达式代入上式：
$$4 + \left(\frac{k}{2}\right)^2 = 9 + \left(\frac{k}{3}\right)^2$$
$$4 + \frac{k^2}{4} = 9 + \frac{k^2}{9}$$
移项整理得：
$$\frac{k^2}{4} - \frac{k^2}{9} = 5$$
$$\frac{9k^2 - 4k^2}{36} = 5$$
$$\frac{5k^2}{36} = 5$$
$$k^2 = 36$$
解得 $k = \pm 6$。
观察图象可知，反比例函数图象位于第一象限，故 $k > 0$。
所以 $k = 6$。
