【答案】①． 5 ②． $720-\frac{15(3+n)}{2^{n-4}}$
## 【解析】
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 $S_{n}$ ，再根据错位相减法得结果．
【详解】（1）对折 4 次可得到如下规格：$\frac{5}{4} d m \times 12 d m, \frac{5}{2} d m \times 6 d m, 5 d m \times 3 d m, 10 d m \times \frac{3}{2} d m$ ， $20 d m \times \frac{3}{4} d m$ ，共 5 种；
（2）由题意可得 $S_{1}=2 \times 120, S_{2}=3 \times 60, S_{3}=4 \times 30, S_{4}=5 \times 15, \cdots, S_{n}=\frac{120(n+1)}{2^{n-1}}$ ，
设 $S=\frac{120 \times 2}{2^{0}}+\frac{120 \times 3}{2^{1}}+\frac{120 \times 4}{2^{2}}+\mathrm{L}+\frac{120(n+1)}{2^{n-1}}$ ，
则 $\frac{1}{2} S=\frac{120 \times 2}{2^{1}}+\frac{120 \times 3}{2^{2}}+\cdots+\frac{120 n}{2^{n-1}}+\frac{120(n+1)}{2^{n}}$ ，
两式作差得 $\frac{1}{2} S=240+120\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\frac{120(n+1)}{2^{n}}=240+\frac{60\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)}{1-\frac{1}{2}}-\frac{120(n+1)}{2^{n}}$
$=360-\frac{120}{2^{n-1}}-\frac{120(n+1)}{2^{n}}=360-\frac{120(n+3)}{2^{n}}$ ，
因此，$S=720-\frac{240(n+3)}{2^{n}}=720-\frac{15(n+3)}{2^{n-4}}$ ．
故答案为： $5 ; 720-\frac{15(n+3)}{2^{n-4}}$ ．
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 $\left\{a_{n} b_{n}\right\}$ 结构，其中 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 结构，利用分组求和法；
（4）对于 $\left\{\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}\right\}$ 结构，其中 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，公差为 $d(d \neq 0)$ ，则 $\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)$ ，利用裂项相消法求和。