1．已知集合 $A=\{x \mid-1
参考答案B
2021年高考数学真题及答案解析
2021 年高考数学真题 126 道，覆盖 9 套试卷，含答案解析、考点和解题方法，适合老师备课、讲评和组卷。
2．在复平面内，复数 $z$ 满足 $(1-i) z=2$ ，则 $z=$
参考答案D
3.
已知 $f(x)$ 是定义在上 $[0,1]$ 的函数，那么＂函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增＂是＂函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $f(1)$＂的
参考答案A
4．某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）
参考答案A
5．双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，且离心率为 2 ，则该双曲线的标准方程为（ ）
参考答案A
6．$\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 是两个等差数列，其中 $\frac{a_{k}}{b_{k}}(1 \leq k \leq 5)$ 为常值，$a_{1}=288, a_{5}=96, b_{1}=192$ ，则 $b_{3}=($
参考答案B
7．函数 $f(x)=\cos x-\cos 2 x$ ，试判断函数的奇偶性及最大值
参考答案D
8．定义： 24 小时内降水在平地上积水厚度（ mm ）来判断降雨程度．其中小雨（ $<10 \mathrm{~mm}$ ），中雨 $10 \mathrm{~mm}-25 \mathrm{~mm}$ ），大雨（ $25 \mathrm{~mm}-50 \mathrm{~mm}$ ），暴雨（ $50 \mathrm{~mm}-100 \mathrm{~mm}$ ），小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）
参考答案B
9．已知圆 $C: x^{2}+y^{2}=4$ ，直线 $l: y=k x+m$ ，当 $k$ 变化时，$l$ 截得圆 $C$ 弦长的最小值为 2 ，则 $m=($
参考答案C
10．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的整数数列，且 $a_{1} \geq 3, a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=100$ ，则 $n$ 的最大值为
参考答案C
11．$\left(x^{3}-\frac{1}{x}\right)^{4}$ 展开式中常数项为 $\_\_\_\_$。
参考答案-4
12.
已知抛物线 $C: y^{2}=4 x$ ，焦点为 $F$ ，点 $M$ 为抛物线 $C$ 上的点，且 $|F M|=6$ ，则 $M$ 的横坐标是 $\_\_\_\_$ ；作 $M N \perp x$ 轴于 $N$ ，则 $S_{\triangle F M N}=$ $\_\_\_\_$。
参考答案(1) 5; (2) $4 \sqrt{5}$
13．$\vec{a}=(2,1), \vec{b}=(2,-1), \vec{c}=(0,1)$ ，则 $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c}=$ $\_\_\_\_$ ；$\vec{a} \cdot \vec{b}=$ $\_\_\_\_$ ．
参考答案(1) 0; (2) 3
14．若点 $P(\cos \theta, \sin \theta)$ 与点 $Q\left(\cos \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right), \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right)$ 关于 $y$ 轴对称，写出一个符合题意的 $\theta=$ $\_\_\_\_$。
参考答案$\frac{5 \pi}{12}$（满足 $\theta=\frac{5 \pi}{12}+k \pi, k \in Z$ 即可）
15．已知函数 $f(x)=|\lg x|-k x-2$ ，给出下列四个结论：
①若 $k=0$ ，则 $f(x)$ 有两个零点；
②$\exists k<0$ ，使得 $f(x)$ 有一个零点；
③$\exists k<0$ ，使得 $f(x)$ 有三个零点；
④$\exists k>0$ ，使得 $f(x)$ 有三个零点。
以上正确结论得序号是 $\_\_\_\_$ ．
参考答案④
16．已知在 $\triangle A B C$ 中，$c=2 b \cos B, C=\frac{2 \pi}{3}$ ．
（1）求 $B$ 的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 $\triangle A B C$ 存在且唯一确定，并求出 $B C$ 边上的中线的长度．
①$c=\sqrt{2} b$ ；②周长为 $4+2 \sqrt{3}$ ；③面积为 $S_{\triangle A B C}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ；
参考答案(1) $\frac{\pi}{6}$; (2) 答案不唯一，具体见解析．
17．已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 中点，直线 $B_{1} C_{1}$ 交平面 $C D E$ 于点 $F$ ．
（1）证明：点 $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点；
（2）若点 $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点，且二面角 $M-C F-E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $\frac{A_{1} M}{A_{1} B_{1}}$ 的值．
参考答案(1) 证明见解析; (2) $\frac{A_{1} M}{A_{1} B_{1}}=\frac{1}{2}$ ．
18.
为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取＂$k$ 合 1 检测法＂，即将 $k$ 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有 100 人，已知其中 2人感染病毒。
（1）（1）若采用＂ 10 合 1 检测法＂，且两名患者在同一组，求总检测次数；
（2）已知 10 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$ ，定义随机变量 $X$ 为总检测次数，求检测次数 $X$ 的分布列和数学期望 $E(X)$ ；
（2）若采用＂ 5 合 1 检测法＂，检测次数 $Y$ 的期望为 $E(Y)$ ，试比较 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 的大小（直接写出结果）．
参考答案(1) （1） 20 次; (2) 分布列见解析；期望为 $\frac{320}{11}$ ；（2）见解析．
19．已知函数 $f(x)=\frac{3-2 x}{x^{2}+a}$ ．
（1）若 $a=0$ ，求 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处切线方程；
（2）若函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的单调区间，以及最大值和最小值．
参考答案(1) $4 x+y-5=0$; (2) 函数 $f(x)$ 的增区间为 $(-\infty,-1) 、(4,+\infty)$ ，单调递减区间为 $(-1,4)$ ，最大值为 1 ，最小值为 $-\frac{1}{4}$ ．
20．已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $A(0,-2)$ ，以四个顶点围成的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的标准方程；
（2）过点 $P(0,-3)$ 的直线 $l$ 斜率为 $k$ ，交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B, C$ ，直线 $A B, A C$ 交 $y=-$ 3于点 $M , N$ ，直线 $A C$ 交 $y=-3$ 于点 $N$ ，若 $|P M|+|P N| \leqslant 15$ ，求 $k$ 的取值范围．
参考答案(1) $\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$; (2) $[-3,-1) \cup(1,3]$ ．
21．定义 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}:$ 对实数 $p$ ，满足：①$a_{1}+p \geq 0, a_{2}+p=0$ ；②$\forall n \in N^{*}, a_{4 n-1}
（2）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是 $R_{0}$ 数列，求 $a_{5}$ 的值；
（3）是否存在 $p$ ，使得存在 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，对 $\forall n \in N^{*}, S_{n} \geq S_{10}$ ？若存在，求出所有这样的 $p$ ；若不存在，说明理由。
参考答案(1) 不可以是 $R_{2}$ 数列；理由见解析; (2) $a_{5}=1$; (3) 存在；$p=2$ ．
19.
已知直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形，$A B=B C=2, E, F$ 分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点 ，$D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点．$B F \perp A_{1} B_{1}$
（1）证明：$B F \perp D E$ ；
（2）当 $B_{1} D$ 为何值时，面 $B B_{1} C_{1} C$ 与面 $D F E$ 所成的二面角的正弦值最小？
参考答案(1) 见解析; (2) $B_{1} D=\frac{1}{2}$
7.
在一个正方体中，过顶点 $A$ 的三条棱的中点分别为 $E, F, G$ ．该正方体截去三棱锥 $A-E F G$ 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是
正视图
参考答案D
3．已知命题 $p: \exists x \in \mathbf{R}, \sin x<1$ ；命题 $q: \forall x \in \mathbf{R}, \mathrm{e}^{|x|} \geq 1$ ，则下列命题中为真命题的是（）
参考答案A
6．将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）
参考答案C
7．把函数 $y=f(x)$ 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图像，则 $f(x)=$
参考答案B
8．在区间 $(0,1)$ 与 $(1,2)$ 中各随机取 1 个数，则两数之和大于 $\frac{7}{4}$ 的概率为（ ）
参考答案B
9．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 $E$ ， $H, G$ 在水平线 $A C$ 上，$D E$ 和 $F G$ 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为＂表高＂，$E G$ 称为＂表距＂，$G C$ 和 $E H$ 都称为＂表目距＂，$G C$ 与 $E H$ 的差称为＂表目距的差＂则海岛的高 $A B=()$
参考答案A
10．设 $a \neq 0$ ，若 $a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点，则（ ）
参考答案D
11．设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|P B| \leq 2 b$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（ ）
参考答案C