2009 ??高考数学 2009_退役省自主命题 (2009·文) 第 15 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

15．（4分）（2009•陕西）已知球 $O$ 的半径为 2 ，圆 $O_{1}$ 是一小圆，$O_{1} O=\sqrt{2}, A , B$ 是圆 $O_{1}$上两点，若 $\angle A O_{1} B=\frac{\pi}{2}$ ，则 $A, B$ 两点间的球面距离为

$$ -\frac{2 \pi}{3}- $$

$$
-\frac{2 \pi}{3}-
$$

Accepted Answer

【考点】弧长公式． 【专题】综合题；压轴题；数形结合；综合法。 【分析】由题意知应先求出 AB 的长度，在直角三角形 $\mathrm{AO}_{1} \mathrm{~B}$ 中由勾股定理可得 $\mathrm{AB}=2$ 由此知三角形 AOB 是等边三角形，由此可以求出 $\angle \mathrm{AOB}$ 的值，进而利用弧长公式求 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点间的球面距离． 【解答】解：由题设知 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}=\sqrt{2}, ~ \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2$ 在圆 $O_{1}$ 中有 $O_{1} A=O_{1} B=\sqrt{2}$ ，又 $\angle A O_{1} B=\frac{\pi}{2}$ 在直角三角形 $\mathrm{AO}_{1} \mathrm{~B}$ 中由勾股定理可得 $\mathrm{AB}=2$ 所以在 $	riangle \mathrm{AOB}$ 中， $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB}=2$ ， 则 $	riangle A O B$ 为等边三角形，可得 $\angle A O B=60^{\circ}$ 由弧长公式 $1=r 	heta$（ $r$ 为半径）得 $A, B$ 两点间的球面距离 $1_{A B}=r 	heta=2 	imes \frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3}$ 故答案为 $\frac{2 \pi}{3}$ 【点评】本题的考点是弧长公式，其考查背景是球内一小圆上两点的球面距，对空间想象能力要求较高，此类题是一个基本题型，求解方法固定先求两点间的弦长，再求球心角角 ，再由弧长公式求弧长。

2009 高考数学第 15 题答案解析

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