2009年高考数学真题及答案解析

（1）已知集合 $A=\{1,3,5,7,9\}, B=\{0,3,6,9,12\}$ ，则 $A \cap C_{N} B=$

（2）复数 $\frac{3+2 i}{2-3 i}-\frac{3-2 i}{2+3 i}=$

（3）对变量 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 有观测数据理力争 $\left(x_{1}, y_{1}\right)(\mathrm{i}=1,2, \ldots, 10)$ ，得散点图1；对变量 $\mathrm{u}, \mathrm{v}$有观测数据 $\left(u_{1}, v_{1}\right)(\mathrm{i}=1,2, \ldots, 10)$ ，得散点图2．由这两个散点图可以判断。

（A）变量 x 与 y 正相关， u 与 v 正相关
（C）变量 x 与 y 负相关， u 与 v 正相关

图2

（B）变量 x 与 y 正相关， u 与 v 负相关
（D）变量 x 与 y 负相关， u 与 v 负相关

（4）双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$ 的焦点到渐近线的距离为

（5）有四个关于三角函数的命题：
$p_{1}: \exists \mathrm{x} \in \mathrm{R}, \sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1}{2} \quad p_{2}: \exists \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathrm{R}, \sin (\mathrm{x}-\mathrm{y})=\sin \mathrm{x}-\sin \mathrm{y}$
$p_{3}: \forall \mathrm{x} \in[0, \pi], \sqrt{\frac{1-\cos 2 x}{2}}=\sin \mathrm{x} \quad p_{4}: \sin \mathrm{x}=\cos \mathrm{y} \Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{y}=\frac{\pi}{2}$

其中假命题的是

（6）设 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y \geq 4 \\ x-y \geq-1 \\ x-2 y \leq 2\end{array}\right.$ ，则 $z=x+y$

（7）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $s_{n}$ ，且 $4 a_{1}, 2 a_{2}, a_{3}$ 成等差数列。若 $a_{1}=1$ ，则 $s_{4}=$

（8）如图，正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱线长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ ，且 $E F=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则下列结论中错误的是

（9）已知 $\mathrm{O}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ 在 $\triangle A B C$ 所在平面内，且 $|\overline{O A}|=|\overline{O B}|=|\overline{O C}|, \overline{N A}+\overline{N B}+\overline{N C}=0$ ，且 $\overline{P A} \bullet \overline{P B}=\overline{P B} \bullet \overline{P C}=\overline{P C} \bullet \overline{P A}$ ，则点 $\mathrm{O}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ 依次是 $\triangle A B C$ 的
（A）重心 外心 垂心（B）重心 外心 内心
（C）外心 重心 垂心
（D）外心 重心 内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

（10）如果执行右边的程序框图，输入 $x=-2, h=0.5$ ，那么输出的各个数的合等于

（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位： $\mathrm{cm}^{2}$ ）为

12）用 $\min \{a, b, c\}$ 表示 $a, b, c$ 三个数中的最小值

设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\min \left\{2^{x}, \mathrm{x}+2,10-\mathrm{x}\right\}(\mathrm{x} \geq 0)$ ，则 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最大值为

（13）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 $\mathrm{F}(1,0)$ ，直线 l 与抛物线 C 相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点 －若 AB 的中点为 $(2,2)$ ，则直线 $\boldsymbol{l}$ 的方程为 $\_\_\_\_$。

（14）已知函数 $\mathrm{y}=\sin$（
$\omega \mathrm{x}+\varphi) \quad(\omega>0$, $\pi \leq \varphi<\pi) ~$ 的图像如
图所示，则 $\varphi=$ $\_\_\_\_$

（15） 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有 $\_\_\_\_$种（用数字作答）。

（16）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 n 项和为 $S_{n}$ 。已知 $a_{m-1}+a_{m+1}-a^{2}{ }_{m}=0, S_{2 m-1}=38$ ，则 $\mathrm{m}=$ $\_\_\_\_$

（17）（本小题满分 12 分）
为了测量两山顶 M ， N 间的距离，飞机沿水平方向在 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点进行测量， $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

（18）（本小题满分12分）
某工厂有工人 1000 名，
其中 250 名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外 750 名工人参加过长期培训（称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 A 类工人，乙为 B 类工人；
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2。
表1：

| 生产能力分 <br> 组 | $[100,110)$ | $[110,120)$ | $[120,130)$ | $[130,140)$ | $[140,150)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 人数 | 4 | 8 | $x$ | 5 | 3 |

表2：

| 生产能力分组 | $[110,120)$ | $[120,130)$ | $[130,140)$ | $[140,150)$ |
| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 人数 | 6 | y | 36 | 18 |

（i）先确定 $x$ ，$y$ ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，$A$ 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

田1 A类工人生产部动繭夜事分布直方原

席2 B类工人生产龍力的频率分布直方阅

（ii）分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥 $S-A B C D$

的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 $\sqrt{2}$ 倍， P 为侧棱 SD 上的点。
（I）求证：$A C \perp S D$ ；
（II）若 $S D \perp$ 平面 $P A C$ ，求二面角 $P-A C-D$ 的大小
（III）在（II）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E ，
使得 $\mathrm{BE} \|$ 平面 PAC 。若存在，求 $\mathrm{SE}: ~ \mathrm{EC}$ 的值；
若不存在，试说明理由。

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1 。
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）若 P 为椭圆 C 上的动点， M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点，$\frac{|O P|}{|O M|}=\lambda$ ，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（21）（本小题满分12分）
已知函数 $f(x)=\left(x^{3}+3 x^{2}+a x+b\right) e^{-x}$
（I）如 $a=b=-3$ ，求 $f(x)$ 的单调区间；
（II）若 $f(x)$ 在 $(-\infty, \alpha),(2, \beta)$ 单调增加，在 $(\alpha, 2),(\beta,+\infty)$ 单调减少，证明
$\beta-\alpha<6$ ．

（22）本小题满分 10 分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知 $\triangle A B C$ 的两条角平分线 $A D$ 和 $C E$ 相交于 $\mathrm{H}, \angle B=60^{\circ}$ ，F在 $A C$ 上，且 $A E=A F$ 。
（I）证明： $\mathrm{B}, \mathrm{D}, \mathrm{H}, \mathrm{E}$ 四点共圆：
（II）证明：$C E$ 平分 $\angle D E F$ 。

（23）（本小题满分 10 分）选修4－4：坐标系与参数方程。
已知曲线 $\mathrm{C}_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=-4+\cos t, \\ y=3+\sin t,\end{array}\right.$（t为参数）， $\mathrm{C}_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=8 \cos \theta, \\ y=3 \sin \theta,\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数）。
（1）化 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}$ 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若 $\mathrm{C}_{1}$ 上的点 P 对应的参数为 $t=\frac{\pi}{2}, \mathrm{Q}$ 为 $\mathrm{C}_{2}$ 上的动点，求 $P Q$ 中点 $M$ 到直线 $C_{3}:\left\{\begin{array}{l}x=3+2 t, \\ y=-2+t\end{array}\right.$（ t 为参数）距离的最小值。

（24）（本小题满分 10 分）选修4－5：不等式选讲
如图， O 为数轴的原点， $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{M}$ 为数轴上三点， C 为线段 OM 上的动点，设 x 表示 C 与原点的距离， y 表示C到A距离 4 倍与C道 B 距离的 6 倍的和。
（1）将 y 表示成 x 的函数；
（2）要使 y 的值不超过 70 ， x 应该在什么范围内取值？

（4）有四个关于三角函数的命题：
$p_{1}: \exists \mathrm{x} \in \mathrm{R}, \sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1}{2} \quad p_{2}: \exists x, y \in R, \sin (x-y)=\sin x-\sin y$
$p_{3}: \forall \mathrm{x} \in[0, \pi], \sqrt{\frac{1-\cos 2 x}{2}}=\sin x \quad p_{4}: \sin x=\cos y \Rightarrow x+y=\frac{\pi}{2}$
其中假命题的是

（A）$p_{1}, p_{4}$
（B）$p_{2}, p_{4}$
③$p_{1}, p_{3}$

（5）已知圆 $C_{1}:(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ ，圆 $C_{2}$ 与圆 $C_{1}$ 关于直线 $x-y-1=0$ 对称，则圆 $C_{2}$的方程为

（6）设 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y \geq 4, \\ x-y \geq 1, \\ x-2 y \leq 2,\end{array}\right.$ 则 $z=x+y$

（7）已知 $a=(-3,2), b=(-1,0)$ ，向量 $\lambda a+b$ 与 $a-2 b$ 垂直，则实数 $\lambda$ 的值为

（8）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{m-1}+a_{m+1}-a_{m}^{2}=0, S_{2 m-1}=38$ ，则 $m=$

（9）如图，正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱线长为 1 ，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ ，且 $E F=\frac{1}{2}$ ，则下列结论中错误的是