（本小题满分 12 分） 某同学用＂五点法＂画函数。 f(…——2015 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（I）根据表中已知数据，解得 $A=5, \omega=2, \varphi=-\frac{\pi}{6}$ 。 数据补全如下表：

且函数表达式为 $f(x)=5 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ ；（II）离原点 $O$ 最近的对称中心为 $\left(-\frac{\pi}{12}, 0\right)$ ．
【解析】（I）根据表中已知数据可得：$A=5, \frac{\pi}{3} \omega+\varphi=\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6} \omega+\varphi=\frac{3 \pi}{2}$ ，解得 $\omega=2, \varphi=-\frac{\pi}{6}$ 。数据补全如下表：

且函数表达式为 $f(x)=5 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ ．
（II）由（I ）知 $f(x)=5 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ ，因此 $g(x)=5 \sin \left[2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{6}\right]=5 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ ．因为 $y=\sin x$ 的对称中心为 $(k \pi, 0), k \in \mathbf{Z}$ ．今 $2 x+\frac{\pi}{6}=k \pi$ ，解得 $x=\frac{k \pi}{2}-\frac{\pi}{12}, k \in \mathbf{Z}$ ．即 $y=g(x)$ 图象的对称中心为 $\left(\frac{k \pi}{2}-\frac{\pi}{12}, 0\right)$ ， $k \in Z$ ，其中离原点 $O$ 最近的对称中心为 $\left(-\frac{\pi}{12}, 0\right)$ ．
【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题．
【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力。