2015年高考数学真题及答案解析

1．（5 分）复数 $i(2-i)=(\quad)$

2．（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x-y \leqslant 0 \\ x+y \leqslant 1 \\ x \geqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x+2 y$ 的最大值为（ ）

3．（5 分）执行如图所示的程序框图输出的结果为

4．（5 分）设 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面，$m$ 是直线且 $m \subset \alpha, ~ " m / / \beta$＂是＂$\alpha / / \beta$＂的

5．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

6．（5 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，下列结论中正确的是

7．（5 分）如图，函数 $f(x)$ 的图象为折线 $A C B$ ，则不等式 $f(x) \geqslant \log _{2}(x+1)$

的解集是

8．（5分）汽车的＂燃油效率＂是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是

9．（5 分）在 $(2+x)^{5}$ 的展开式中，$x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 40 （用数字作答）

10．（5 分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x+y=0$ ，则 $a= \frac{\sqrt{3}}{3}-$ ．

11．（5 分）在极坐标系中，点 $\left(2, \frac{\pi}{3}\right)$ 到直线 $\rho(\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta)=6$ 的距离为 1 ．

12．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=4, b=5, c=6$ ，则 $\frac{\sin 2 A}{\sin C}=$ $\_\_\_\_$ 1 ．

13．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，点 $M, N$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2 \overrightarrow{\mathrm{MC}}, \overrightarrow{\mathrm{BN}}=\overrightarrow{\mathrm{NC}}$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ，则 $x= \frac{1}{2}-, y=-\frac{1}{6}-$.

17．（14分）如图，在四棱锥 A－EFCB 中，$\triangle A E F$ 为等边三角形，平面 $A E F \perp$ 平面 $E F C B, E F / / B C, B C=4, E F=2 a, \angle E B C=\angle F C B=60^{\circ}$ ，$O$ 为 $E F$ 的中点。
（I）求证：$A O \perp B E$ ．
（II）求二面角 $F-A E-B$ 的余弦值；
（III）若 $B E \perp$ 平面 $A O C$ ，求 $a$ 的值．

2．（5 分）圆心为（ 1,1 ）且过原点的圆的标准方程是

3．（5 分）下列函数中为偶函数的是

4．（5 分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人数为

5．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（ ）

6．（5分）设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是非零向量，＂$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$＂是＂$\vec{a} / / \vec{b}$＂的（）

7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

8．（5 分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况

注：＂累计里程＂指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每 100千米平均耗油量为（ ）

9．（5 分）复数 $i(1+i)$ 的实部为 $\_\_\_\_$ －1 ．

10．（5 分） $2^{-3}, 3^{\frac{1}{2}}, \log _{2} 5$ 三个数中最大数的是 $\_\_\_\_$ $\log _{2} 5$。

11．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=3, b=\sqrt{6}, \angle A=\frac{2 \pi}{3}$ ，则 $\angle B=$ $\_\_\_\_$ $\frac{\pi}{4}$ ．

12．（5 分）已知 $(2,0)$ 是双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的一个焦点，则 $b=$ $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}$ ．

13．（5 分）如图，$\triangle A B C$ 及其内部的点组成的集合记为 D，P（ $x, y$ ）为 D 中任意一点，则 $z=2 x+3 y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 7。

14．（5 分）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，
（1）在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 $\_\_\_\_$乙 ；

（2）在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 $\_\_\_\_$数学。

15．（13 分）已知函数 $f(x)=\sin x-2 \sqrt{3} \sin ^{2} \frac{x}{2}$ ．
（1）求 $f(x)$ 的最小正周期；
（2）求 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上的最小值．

16．（13 分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=10, a_{4}-a_{3}=2$
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{2}=a_{3}, b_{3}=a_{7}$ ，问：$b_{6}$ 与数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的第几项相等？

17．（13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中＂ V ＂表示购买，＂$\times$＂表示未购买．

（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？