2015年高考数学真题及答案解析

1．（5分）若集合 $A = \{ x \vert - 5 < x < 2 \}$ $B = \{ x \vert - 3 < x < 3 \}$ ，则 $\mathsf { A } \cap \mathsf { B } = \mathrm { ~ ( ~ \qquad ~ ) ~ }$ A $\{ { \pmb { \times } } | - 3 < { \pmb { \times } } < 2 \}$ B $\{ { \pmb { \times } } | - 5 { < } { \bf x } { < } 2 \}$ C $\{ { \pmb { \times } } | - 3 < { \pmb { \times } } < 3 \}$ D $\{ { \pmb { \times } } | - 5 < { \pmb { \times } } < 3 \}$

1．（5 分）复数 i（2﹣i）=（　　）

2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（ ）A $( \textsf { x } - 1 ) 2 + ( \textsf { y } - 1 ) 2 { = } 1$ B $( \mathsf { x } + \mathsf { 1 } ) 2 + \mathsf { \Gamma } ( \mathsf { y } ^ { + } \mathsf { 1 } ) 2 { \mathsf { = } } 1$ C $( \mathsf { x } + \mathsf { 1 } ) 2 + \mathsf { \Gamma } ( \mathsf { y } ^ { + } 1 ) 2 { = } 2$ D $( { \bf { x } } - \mathrm { ~ \bf { 1 } ~ } ) { \bf { \Sigma } } ^ { 2 } + { \bf { \Sigma } } \left( { \bf { y } } - \mathrm { ~ \bf { 1 } ~ } \right) { \bf { \Sigma } } ^ { 2 } { = } 2$

2．（5分）若x，y满足 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } - \mathbf { y } \leqslant 0 } \\ { \mathbf { x } + \mathbf { y } \leqslant 1 } \\ { \mathbf { x } \geqslant 0 } \end{array} \right.$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为（　　）

3．（5分）下列函数中为偶函数的是（　　）A $y = x ^ { 2 } \sin x$ B $\mathsf { y } = \mathsf { x } ^ { 2 } \mathsf { c o s x }$ C $\mathsf { y } = \left| \mathsf { l n } \mathsf { x } \right|$ D $y = 2 - x$

3．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（　　）

4．（5 分）设 α，β 是两个不同的平面，m 是直线且 m⊂α，“m∥β“是 $" \alpha / / \beta "$ 的（　　）

4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人数为（　　）

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>类别</td><td rowspan=1 colspan=1>人数</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>老年教师</td><td rowspan=1 colspan=1>900</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>中年教师</td><td rowspan=1 colspan=1>1800</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>青年教师</td><td rowspan=1 colspan=1>1600</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>合计</td><td rowspan=1 colspan=1>4300</td></tr></table>

5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　）

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图 A $2 { + } \sqrt { 5 }$ B $4 { + } \sqrt { 5 }$ C $2 \div 2 \sqrt { 5 }$ D．5

5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　）

7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（　　）

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图 A．1 B $\sqrt { 2 }$ C $\sqrt { 3 }$ D．2

8．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（　　）

8．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>加油时间</td><td rowspan=1 colspan=1>加油量（升）</td><td rowspan=1 colspan=1>加油时的累计里程（千米）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>2015年5月1日</td><td rowspan=1 colspan=1>12</td><td rowspan=1 colspan=1>35000</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>2015年5月15日</td><td rowspan=1 colspan=1>48</td><td rowspan=1 colspan=1>35600</td></tr></table>

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （　　）

9．（5分）在（2+x）⁵的展开式中， $\mathsf { x } ^ { 3 }$ 的系数为　40　（用数字作答）

9．（5 分）复数 i（1+i）的实部为　﹣1

10．（5 分）已知双曲线 ${ \frac { \tt x ^ { 2 } } { \tt a ^ { 2 } } } - { \tt y } ^ { 2 } { = } 1 ( { \tt a } > 0 )$ 的一条渐近线为 $\sqrt { 3 } x + y = 0$ ，则 $\mathtt { a } =$ ${ \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } -$

11．（5 分）在极坐标系中，点 $( 2 , \ { \frac { \pi } { 3 } } )$ 到直线 $\textsf { \textsf { P } } ( \cos \theta + { \sqrt { 3 } } \sin \theta ) \ { = } 6$ 的距离为
1

11．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中， $\mathtt { a } = 3$ $b = { \sqrt { 6 } }$ $\angle A = \frac { 2 \pi } { 3 }$ ，则 $\angle B = \frac { \pi } { \underline { { { \bf \nabla } } } } _ { - }$

12．（5分）已知（2，0）是双曲线 $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( b > 0 )$ 的一个焦点，则 $b = \underline { { { \sqrt { 3 } } } } _ { - }$

12．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，a=4，b=5，c=6，则 $\frac { \sin 2 A } { \sin C } = \frac { 1 } { 1 }$

13．（5 分）如图， $\triangle A B C$ 及其内部的点组成的集合记为 D， $\textsf { \textsf { P } } ( \textsf { x } , \textsf { y } )$ 为 D 中任意一点，则 $z = 2 x + 3 y$ 的最大值为　7

14．（5分）高三年级267 位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　乙　；

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是　数学

16．（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

A 组：10，11，12，13，14，15，16

B 组；12，13，15，16，17，14，a

假设所有病人的康复时间相互独立，从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙

（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；

（Ⅱ）如果$a=25$，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

17．（14 分）如图，在四棱锥 A﹣EFCB 中， $\triangle A E F$ 为等边三角形，平面 $\mathsf { A E F \bot }$ 平面 EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a， $\angle E B C = \angle F C B = 6 0 ^ { \circ }$ ，O为EF的中点

（Ⅰ）求证：AO⊥BE

（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；

（Ⅲ）若 $\tt B E \bot$ 平面 AOC，求 a 的值

18．（13分）已知函数 ${ \textsf { f } } \left( { \textsf { x } } \right) = \mathsf { I n } \frac { 1 + \mathbf { x } } { 1 - \mathbf { x } }$

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）求证，当 $\mathbf { x } \in \ ( 0 , \ 1 )$ 时， ${ \textsf { f } } \left( \mathbf { x } \right) > _ { 2 } ( \mathbf { x } + { \frac { \mathbf { x } ^ { 3 } } { 3 } } )$ ；

（Ⅲ）设实数 k 使得 ${ \textsf { f } } \left( \mathbf { x } \right) > \mathbf { k } \left( \mathbf { x } + { \frac { \mathbf { x } ^ { 3 } } { 3 } } \right)$ 对 $\mathbf { x } \in \ ( 0 , \ 1 )$ 恒成立，求k的最大值

20．（14分）已知椭圆C： $x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } = 3$ ，过点D（1，0）且不过点 E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE 与直线x=3交于点 M

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若AB垂直于x 轴，求直线BM的斜率；

（3）试判断直线BM 与直线DE的位置关系，并说明理由

1．（5 分）复数 $i(2-i)=(\quad)$

2．（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x-y \leqslant 0 \\ x+y \leqslant 1 \\ x \geqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x+2 y$ 的最大值为（ ）

3．（5 分）执行如图所示的程序框图输出的结果为

4．（5 分）设 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面，$m$ 是直线且 $m \subset \alpha, ~ " m / / \beta$＂是＂$\alpha / / \beta$＂的