2016_退役省自主命题 (2016·理)
15．在平面直角坐标系中，当 $P(x, y)$ 不是原点时，定义 $P$ 的＂伴随点＂为 $P^{\prime}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{-x}{x^{2}+y^{2}}\right)$ ；
当 $P$ 是原点时，定义 $P$ 的＂伴随点＂为它自身，平面曲线 $C$ 上所有点的＂伴随点＂所构成的曲线 $C^{\prime}$ 定义为曲线 $C$ 的＂伴随曲线＂．现有下列命题：
①若点 $A$ 的＂伴随点＂是点 $A^{\prime}$ ，则点 $A^{\prime}$ 的＂伴随点＂是点 $A$
②单位圆的＂伴随曲线＂是它自身；
③若曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称，则其＂伴随曲线＂$C^{\prime}$ 关于 $y$ 轴对称；
④一条直线的＂伴随曲线＂是一条直线．
其中的真命题是 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序列）。
【答案】②③
## 【解析】
试题分析：对于（1），若令 $P(1,1)$ ，则其伴随点为 $P^{\prime}\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ ，而 $P^{\prime}\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 的伴随点为 $(-1,-1)$ ，而不是 $P$ ，故①错误；对于②，设曲线 $f(x, y)=0$ 关于 $x$ 轴对称，则 $f(x,-y)=0$ 与方程 $f(x, y)=0$ 表示同一曲线，
其伴随曲线分别为 $f\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{-x}{x^{2}+y^{2}}\right)=0$ 与 $f\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{-x}{x^{2}+y^{2}}\right)=0$ 也表示同一曲线，又曲线
$f\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{-x}{x^{2}+y^{2}}\right)=0$ 与曲线 $f\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{-x}{x^{2}+y^{2}}\right)=0$ 的图象关于 $y$ 轴对称，所以（2）正确；③设单位圆上任一点的坐标为 $P(\cos x, \sin x)$ ，其伴随点为 $P^{\prime}(\sin x,-\cos x)$ 仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线 $y=k x+b$ 上任一点 $P(x, y)$ 的伴随点是 $P^{\prime}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{-x}{x^{2}+y^{2}}\right)$ ，消参后点 $P^{\prime}$ 轨迹是圆，故④错误。所以正确的为序号为②③．
考点：对新定义的理解、函数的对称性．
【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向。它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可。本题新概念＂伴随＂实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决。