1．设集合 $A=\{x \mid x=3 k+1, k \in Z\}, B=\{x \mid x=3 k+2, k \in Z\}$ ，$U$ 为整数集， ð $(A \bigcup B)=$
参考答案A
全国高考数学真题及答案解析
全国高考数学真题 749 道，覆盖 7 个年份、38 套试卷，含答案解析和考点标签。
2．若复数 $(a+\mathrm{i})(1-a \mathrm{i})=2, a \in \mathrm{R}$ ，则 $a=$
参考答案C
3．执行下面的程序框遇，输出的 $B=$
参考答案B
4．向量 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,|\vec{c}|=\sqrt{2}$ ，且 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$ ，则 $\cos \langle\vec{a}-\vec{c}, \vec{b}-\vec{c}\rangle=$（）
参考答案D
5．已知正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和，$S_{5}=5 S_{3}-4$ ，则 $S_{4}=()$
A 7
B． 9
C． 15
D． 30
参考答案C
6．有 50 人报名足球俱乐部， 60 人报名乒乓球俱乐部， 70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球
俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为
参考答案A
7．＂ $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta=1$＂是＂ $\sin \alpha+\cos \beta=0$＂的
参考答案B
8．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $|A B|=$
参考答案D
9．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
参考答案B
10．已知 $f(x)$ 为函数 $y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ 向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位所得函数，则 $y=f(x)$ 与 $y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$ 的交点个数为
参考答案C
11．在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，$A B=4, P C=P D=3, \angle P C A=45^{\circ}$ ，则 $\triangle \mathrm{PBC}$ 的面积为（ ）
参考答案C
12．己知椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{6}=1, F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点，$O$ 为原点，$P$ 为椭圆上一点， $\cos \angle F_{1} P F_{2}=\frac{3}{5}$ ，则 $|P O|=$
参考答案B
13．若 $y=(x-1)^{2}+a x+\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 为偶函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
参考答案2
14．设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}-2 x+3 y \leq 3 \\ 3 x-2 y \leq 3 \\ x+y \geq 1\end{array}\right.$ ，设 $z=3 x+2 y$ ，则 $z$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．
参考答案15
15．在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E, F$ 分别为 $C D, A_{1} B_{1}$ 的中点，则以 $E F$ 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 $\_\_\_\_$ ．
参考答案12
16．在 $\triangle A B C$ 中，$A B=2, \angle B A C=60^{\circ}, B C=\sqrt{6}, D$ 为 $B C$ 上一点，$A D$ 为 $\angle B A C$ 的平分线，则
$A D=$ $\_\_\_\_$。
参考答案2
17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1$ ，设 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和， $2 S_{n}=n a_{n}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n}+1}{2^{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
参考答案(1) $a_{n}=n-1$; (2) $T_{n}=2-(2+n)\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
18．在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A A_{1}=2, A_{1} C \perp$ 底面 $A B C, \angle A C B=90^{\circ}, A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 1.
（1）求证：$A C=A_{1} C$ ；
（2）若直线 $A A_{1}$ 与 $B B_{1}$ 距离为 2 ，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．
参考答案(1) 证明见解析; (2) $\frac{\sqrt{13}}{13}$
19．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组 （加药物）．
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；
（2）测得 40 只小鼠体重如下（单位： g ）：（已按从小到大排好）
对照组： $17.3 \quad 18.4 \quad 20.1 \quad 20.4 \quad 21.5 \quad 23.2 \quad 24.6 \quad 24.8 \quad 25.0 \quad 25.4$
$\begin{array}{llllllllll}26.1 & 26.3 & 26.4 & 26.5 & 26.8 & 27.0 & 27.4 & 27.5 & 27.6 & 28.3\end{array}$
（i）求 40 只小鼠体重的中位数 $m$ ，并完成下面 $2 \times 2$ 列联表：
| | $
| 对照组 | | |
| 实验组 | | |
（ii）根据 $2 \times 2$ 列联表，能否有 $95 \%$ 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用。
参考数据：
| $k_{0}$ | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P\left(k^{2} \geq k_{0}\right)$ | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
参考答案(1) 分布列见解析，$E(X)=1$; (2) （i）$m=23.4$ ；列联表见解析，（ii）能
20．已知直线 $x-2 y+1=0$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=4 \sqrt{15}$ ．
（1）求 $p$ ；
②设 $C$ 的焦点为 $F, M, N$ 为 $C$ 上两点， $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，求 $\triangle M N F$ 面积的最小值．
参考答案(1) $p=2$; (2) $12-8 \sqrt{2}$
21．已知 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{3} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
（1）若 $\boldsymbol{a}=8$ ，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)<\sin 2 x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
参考答案(1) 答案见解析; (2) $(-\infty, 3]$
22．已知 $P(2,1)$ ，直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \cos \alpha \\ y=1+t \sin \alpha\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$\alpha$ 为 $l$ 的倾斜角，$l$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴正半轴交于 $A, B$ 两点，$|P A| \cdot|P B|=4$ ．
（1）求 $\alpha$ 的值；
（2）以原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $l$ 的极坐标方程．
参考答案(1) $\frac{3 \pi}{4}$; (2) $\rho \cos \alpha+\rho \sin \alpha-3=0$
23．已知 $f(x)=2|x-a|-a, a>0$ ．
（1）求不等式 $f(x)
参考答案(1) $\left(\frac{a}{3}, 3 a\right)$; (2) $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$
3．设全集 $U=\{-2,-1,0,1,2,3\}$ ，集合 $A=\{-1,2\}, B=\left\{x \mid x^{2}-4 x+3=0\right\}$ ，则 $\bigoplus_{U}(A \cup B)=()$
参考答案D
4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该多面体的体积为
参考答案B
5．函数 $y=\left(3^{x}-3^{-x}\right) \cos x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 的图象大致为
参考答案A
7．在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $B_{1} D$ 与平面 $A B C D$ 和平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角均为 $30^{\circ}$ ，则（）
参考答案D
8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的＂会圆术＂，如图，$\overparen{A B}$是以 $O$ 为圆心，$O A$ 为半径的圆弧，$C$ 是 $A B$ 的中点，$D$ 在 $\overparen{A B}$ 上，$C D \perp A B$ ．＂会圆术＂给出 $\overparen{A B}$ 的弧长的近似值 $s$ 的计算公式：$s=A B+\frac{C D^{2}}{O A}$ ．当 $O A=2, \angle A O B=60^{\circ}$ 时，$s=$（ ）
参考答案B
9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 $2 \pi$ ，侧面积分别为 $S_{\text {甲 }}$ 和 $S_{\text {乙，体积分别为 }} V_{\text {甲和 } V_{\text {乙 }} \text { ．若 } \frac{S_{\text {甲 }}}{S_{\text {乙 }}}=2 \text { ，则 } \frac{V_{\text {甲 }}}{V_{\text {乙 }}}=}$
参考答案C
10．椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$ ，点 $P, Q$ 均在 $C$ 上，且关于 $y$ 轴对称．若直线 $A P, A Q$的斜率之积为 $\frac{1}{4}$ ，则 $C$ 的离心率为
参考答案A