2020_新课标 III 卷 (2020·理)
22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2-t-t^{2} \\ y=2-3 t+t^{2}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数且 $\left.t \neq 1\right), C$ 与坐标轴交于 $A , B$ 两点．
（1）求 $|A B|$ ；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 $A B$ 的极坐标方程．
(1) $4 \sqrt{10}$; (2) $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】
① $4 \sqrt{10}$
② $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$
【解析】
【分析】
①由参数方程得出 $A, B$ 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 $|A B|$ 的值；
②由 $A, B$ 的坐标得出直线 $A B$ 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．
【详解】（1）令 $x=0$ ，则 $t^{2}+t-2=0$ ，解得 $t=-2$ 或 $t=1$（舍），则 $y=2+6+4=12$ ，即 $A(0,12)$ ．
令 $y=0$ ，则 $t^{2}-3 t+2=0$ ，解得 $t=2$ 或 $t=1$（舍），则 $x=2-2-4=-4$ ，即 $B(-4,0)$
$\therefore|A B|=\sqrt{(0+4)^{2}+(12-0)^{2}}=4 \sqrt{10}$ ；
②由①可知 $k_{A B}=\frac{12-0}{0-(-4)}=3$ ，
则直线 $A B$ 的方程为 $y=3(x+4)$ ，即 $3 x-y+12=0$ ．
由 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得，直线 $A B$ 的极坐标方程为 $3 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta+12=0$ ．
【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题．