2020年高考数学真题及答案解析

1．已知集合 $A=\{-1,0,1,2\}, B=\{x \mid 0<x<3\}$ ，则 $A \cap B=$ ．

2．在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1,2)$ ，则 $i \cdot z=$ ．

3．在 $(\sqrt{x}-2)^{5}$ 的展开式中，$x^{2}$ 的系数为（ ）。

4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 ．

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

5．已知半径为 1 的圆经过点 $(3,4)$ ，则其圆心到原点的距离的最小值为 ．

6．已知函数 $f(x)=2^{x}-x-1$ ，则不等式 $f(x)>0$ 的解集是（））．

7．设抛物线的顶点为 $O$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l . P$ 是抛物线上异于 $O$ 的一点，过 $P$ 作 $P Q \perp l$ 于 $Q$ ，则线段 $F Q$ 的垂直平分线（ ）．

8．在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=-9, a_{3}=-1$ 。记 $T_{n}=a_{1} a_{2} \ldots a_{n}(n=1,2, \ldots)$ ，则数列 $\left\{T_{n}\right\}$ ）．

9．已知 $\alpha, \beta \in R$ ，则＂存在 $k \in Z$ 使得 $\alpha=k \pi+(-1)^{k} \beta$＂是＂ $\sin \alpha=\sin \beta$＂的（ ）．

10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ $\pi$
Day）．历史上，求圆周率 $\pi$ 的方法有多种，与中国传统数学中的＂割圆术＂相似。数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数 $n$ 充分大时，计算单位圆的内接正 $6 n$ 边形的周长和外切正 $6 n$ 边

形（各边均与圆相切的正 $6 n$ 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 $2 \pi$ 的近似值。按照阿尔•卡西的方法，$\pi$ 的近似值的表达式是（ ）。

11．函数 $f(x)=\frac{1}{x+1}+\ln x$ 的定义域是 $\_\_\_\_$ ．

12．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$ ，则 $C$ 的右焦点的坐标为 $\_\_\_\_$ ；$C$ 的焦点到其渐近线的距离是 $\_\_\_\_$ ．

13．已知正方形 $A B C D$ 的边长为 2 ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ ，则 $|\overrightarrow{P D}|=$ $\_\_\_\_$ ；
$\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P D}=$ $\_\_\_\_$。

16．如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为 $B B_{1}$ 的中点．

（I）求证：$B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；
（II）求直线 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值．

17．在 $\triangle A B C$ 中，$a+b=11$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（ I ）$a$ 的值：
（ II ） $\sin C$ 和 $\triangle A B C$ 的面积．
条件①：$c=7, \cos A=-\frac{1}{7}$ ；
条件②： $\cos A=\frac{1}{8}, \cos B=\frac{9}{16}$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

18．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。
（I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（II）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；
（III）将该校学生支持方案的概率估计值记为 $p_{0}$ ，假设该校年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 $p_{1}$ ，试比较 $p_{0}$ 与 $p_{1}$ 的大小。（结论不要求证明）

19．已知函数 $f(x)=12-x^{2}$ ．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率等于 -2 的切线方程；

（II）设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t, f(t))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S(t)$ ，求 $S(t)$ 的最小值．

20．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $A(-2,-1)$ ，且 $a=2 b$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的方程：
（ II）过点 $B(-4,0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $M, N$ ，直线 $M A, N A$ 分别交直线 $x=-4$ 于点 $P, Q$ ．求 $\frac{|P B|}{|B Q|}$ 的值．

1．已知集合 $A=\{-1,0,1,2\}, B=\{0,2,3\}$ ，则 $A \cap B=$ $\_\_\_\_$ ．

2．已知 i 是虚数单位，则复数 $z=(1+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})$ 的实部是 $\_\_\_\_$ ．

3．已知一组数据 $4,2 a, 3-a, 5,6$ 的平均数为 4 ，则 $a$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 $\_\_\_\_$ ．

5．如图是一个算法流程图，若输出 $y$ 的值为 -2 ，则输入 $x$ 的值是 $\_\_\_\_$。

6．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{5}=1(\mathrm{a}>0)$ 的一条渐近线方程为 $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{5}}{2} x$ ，则该双曲线的离心率是 $\_\_\_\_$ ．

7．已知 $y=f(x)$ 是奇函数，当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ ，则 $f(-8)$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

8．已知 $\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{2}{3}$ ，则 $\sin 2 \alpha$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

9．如图，六角螺帽毛坏是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm ，高为 2 cm ，内孔半轻为 0.5 cm ，则此六角螺帽毛坏的体积是 $\_\_\_\_$ cm．

10．将函数 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，则平移后的图象中与 $y$ 轴最近的对称轴的方程是
$\_\_\_\_$ ．

11．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列。已知数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}-n+2^{n}-1\left(n \in \mathbf{N}^{+}\right)$，则 $d+q$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

12．已知 $5 x^{2} y^{2}+y^{4}=1(x, y \in R)$ ，则 $x^{2}+y^{2}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ ．