（13 分）已知函数 f(x)= 2 sin x 2 co…——2015 高考数学第 15 题答案解析

【考点】GP：两角和与差的三角函数；H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．

【专题】11：计算题；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．
【分析】（I）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简 $f(x)$ ，再由正弦函数的周期，即可得到所求；

（II）由 x 的范围，可得 $\mathrm{x}+\frac{\pi}{4}$ 的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值。

【解答】解：（I）$f(x)=\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}-\sqrt{2} \sin \frac{2 x}{2}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}(1-\cos x)$
$=\sin x \cos \frac{\pi}{4}+\cos x \sin \frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
则 $f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$ ；
（II）由 $-\pi \leqslant x \leqslant 0$ ，可得
$-\frac{3 \pi}{4} \leqslant x+\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{4}$,
即有 $-1 \leqslant \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
则当 $x=-\frac{3 \pi}{4}$ 时， $\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ 取得最小值 -1 ，
则有 $f(x)$ 在区间 $[-\pi, 0]$ 上的最小值为 $-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．