记 A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,…——2022 高考数学第 17 题答案解析

（1）由已知 $\sin C \sin (A-B)=\sin B \sin (C-A)$，且 $A=2B$。
代入 $A=2B$ 得：
$$ \sin C \sin (2B-B) = \sin B \sin (C-2B) $$
即
$$ \sin C \sin B = \sin B \sin (C-2B) $$
因为 $B$ 为三角形内角，所以 $B \in (0, \pi)$，故 $\sin B \neq 0$。
两边同时除以 $\sin B$，得：
$$ \sin C = \sin (C-2B) $$
在 $\triangle ABC$ 中，$A+B+C=\pi$，即 $3B+C=\pi$，所以 $C = \pi - 3B$。
因为 $B>0$，所以 $C < \pi$。又 $A=2B < \pi \Rightarrow B < \frac{\pi}{2}$。
考虑方程 $\sin C = \sin (C-2B)$ 的解。
由正弦函数性质，$\sin \alpha = \sin \beta$ 意味着 $\alpha = \beta + 2k\pi$ 或 $\alpha = \pi - \beta + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)。
情形 1：$C = C - 2B + 2k\pi \Rightarrow 2B = 2k\pi \Rightarrow B = k\pi$。
因为 $B \in (0, \pi)$，此情形无解。
情形 2：$C = \pi - (C - 2B) + 2k\pi \Rightarrow 2C = \pi + 2B + 2k\pi \Rightarrow C = \frac{\pi}{2} + B + k\pi$。
因为 $C \in (0, \pi)$ 且 $B \in (0, \frac{\pi}{2})$，取 $k=0$，得 $C = \frac{\pi}{2} + B$。
联立 $C = \pi - 3B$ 和 $C = \frac{\pi}{2} + B$：
$$ \pi - 3B = \frac{\pi}{2} + B $$
$$ 4B = \frac{\pi}{2} \Rightarrow B = \frac{\pi}{8} $$
从而
$$ C = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{5\pi}{8} $$
经检验，$A = 2B = \frac{\pi}{4}$，$A+B+C = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{8} = \pi$，符合题意。

（2）证明：
由已知 $\sin C \sin (A-B)=\sin B \sin (C-A)$。
展开两角差的正弦公式：
$$ \sin C (\sin A \cos B - \cos A \sin B) = \sin B (\sin C \cos A - \cos C \sin A) $$
整理得：
$$ \sin C \sin A \cos B - \sin C \cos A \sin B = \sin B \sin C \cos A - \sin B \cos C \sin A $$
移项合并同类项：
$$ \sin A \sin C \cos B + \sin A \sin B \cos C = 2 \sin B \sin C \cos A $$
根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$，可将角的正弦值替换为边长（略去公共因子 $2R$ 或直接对应替换 $\sin A \propto a$ 等）：
$$ a c \cos B + a b \cos C = 2 b c \cos A $$
根据余弦定理：
$$ \cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}, \quad \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}, \quad \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
代入上式：
$$ ac \cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} + ab \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = 2bc \cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
化简得：
$$ \frac{a^2+c^2-b^2}{2} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2} = b^2+c^2-a^2 $$
左边通分合并：
$$ \frac{a^2+c^2-b^2 + a^2+b^2-c^2}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2 $$
所以：
$$ a^2 = b^2+c^2-a^2 $$
移项得：
$$ 2a^2 = b^2+c^2 $$
证毕。