记 A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,…——2022 高考数学第 17 题答案解析

【答案】①$\frac{5 \pi}{8}$ ；
（2）证明见解析。

【解析】

【分析】（1）根据题意可得， $\sin C=\sin (C-A)$ ，再结合三角形内角和定理即可解出；
②由题意利用两角差的正弦公式展开得
$\sin C(\sin A \cos B-\cos A \sin B)=\sin B(\sin C \cos A-\cos C \sin A)$ ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．

【小问 1 详解】
由 $A=2 B, \sin C \sin (A-B)=\sin B \sin (C-A)$ 可得， $\sin C \sin B=\sin B \sin (C-A)$ ，而 $0<B<\frac{\pi}{2}$ ，所以 $\sin B \in(0,1)$ ，即有 $\sin C=\sin (C-A)>0$ ，而 $0<C<\pi, 0<C-A<\pi$ ，显然 $C \neq C-A$ ，所以， $C+C-A=\pi$ ，而 $A=2 B, A+B+C=\pi$ ，所以 $C=\frac{5 \pi}{8}$ ．

【小问 2 详解】
由 $\sin C \sin (A-B)=\sin B \sin (C-A)$ 可得，
$\sin C(\sin A \cos B-\cos A \sin B)=\sin B(\sin C \cos A-\cos C \sin A)$ ，再由正弦定理可得， $a c \cos B-b c \cos A=b c \cos A-a b \cos C$ ，然后根据余弦定理可知，
$\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)-\frac{1}{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)-\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right), ~$ 化简得：

$2 a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ，故原等式成立．