2022 全国乙卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．集合 $M=\{2,4,6,8,10\}, N=\{x \mid-1<x<6\}$ ，则 $M \cap N=()$

2．设 $(1+2 \mathrm{i}) a+b=2 \mathrm{i}$ ，其中 $a, b$ 为实数，则

3．已知向量 $\vec{a}=(2,1), \vec{b}=(-2,4)$ ，则 $|\vec{a}-\vec{b}|(\quad)$

4．分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长（单位：$h$ ），得如下茎叶图： | 甲 | | | | | 乙 | | | | | | | | | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | | | 6 | 1 | 5. | | | | | | | | | | | 8 | 5 | 3 | 0 | 6. | 3 | | | | | | | | | | 7 | 5 | 3 | 2 | 7. | 4 | 6 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 6 | 4 | 2 | 1 | 8. | 1 | 2 | 2 | 5 | 6 | 6 | | | | | | | 4 | 2 | 9. | 0 | 2 | 3 | 8 | | | | | | | | | | 10. | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 则下列结论中错误的是（ ）

5．若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geq 2, \\ x+2 y \leq 4 \\ y \geq 0,\end{array}\right.$ 则 $z=2 x-y$ 的最大值是（ ）

6．设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B(3,0)$ ，若 $|A F|=|B F|$ ，则 $|A B|=$

7．执行下边的程序框图，输出的 $n=$ 

8．如图是下列四个函数中的某个函数在区间 $[-3,3]$ 的大致图像，则该函数是（ ） 

9．在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，则（ ）

10．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 3 项和为 $168, a_{2}-a_{5}=42$ ，则 $a_{6}=$（） A 14 B． 12 C． 6 D． 3

11．函数 $f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 的最小值、最大值分别为（ ）

12．已知球 $O$ 的半径为 1 ，四棱锥的顶点为 $O$ ，底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）

13．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $2 S_{3}=3 S_{2}+6$ ，则公差 $d=$

14．从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 $\_\_\_\_$。

15．过四点 $(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)$ 中的三点的一个圆的方程为 $\_\_\_\_$。

16．若 $f(x)=\ln \left|a+\frac{1}{1-x}\right|+b$ 是奇函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

17．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin C \sin (A-B)=\sin B \sin (C-A)$ ． （1）若 $A=2 B$ ，求 $C$ ； （2）证明： $2 a^{2}=b^{2}+c^{2}$

18．如图，四面体 $A B C D$ 中，$A D \perp C D, A D=C D, \angle A D B=\angle B D C, E$ 为 $A C$ 的中点．  （1）证明：平面 $B E D \perp$ 平面 $A C D$ ； ②设 $A B=B D=2, \angle A C B=60^{\circ}$ ，点 $F$ 在 $B D$ 上，当 $\triangle A F C$ 的面积最小时，求三棱锥 $F-A B C$ 的体积．

19．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： $\mathrm{m}^{2}$ ）和材积量（单位： $\mathrm{m}^{3}$ ），得到如下数据： | 样本号 i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 总和 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 根部横截面积 $x_{\mathrm{i}}$ | 0.04 | 0.06 | 004 • | 0.08 | 0.08 | 0.05 | 0.05 | 0.07 | 0.07 | 0.06 | 0.6 | | 材积量 $y_{i}$ | 0.25 | 0.40 | 0.22 | 0.54 | 0.51 | 0.34 | 0.36 | 0.46 | 0.42 | 0.40 | 3.9 | 并计算得 $\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}=0.038, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}=1.6158, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}=0.2474$ 。 （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01 ）； （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 $186 \mathrm{~m}^{2}$ 。已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比。利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量 的估计值． 附：相关系数 $r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}, \sqrt{1.896} \approx 1.377$ ．

20．已知函数 $f(x)=a x-\frac{1}{x}-(a+1) \ln x$ ． （1）当 $a=0$ 时，求 $f(x)$ 的最大值； （2）若 $f(x)$ 恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围．

21．已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且过 $A(0,-2), B\left(\frac{3}{2},-1\right)$ 两点． （1）求 $E$ 的方程； ②设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于点 $T$ ，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{M T}=\overrightarrow{T H}$ ．证明：直线 $H N$ 过定点．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos 2 t \\ y=2 \sin t\end{array}\right.$ ，（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$ ． （1）写出 $l$ 的直角坐标方程； （2）若 $l$ 与 $C$ 有公共点，求 $m$ 的取值范围．

23．已知 $a, b, \mathrm{c}$ 都是正数，且 $a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1$ ，证明： ①$a b c \leq \frac{1}{9}$ ； ②$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a b c}}$ ；