A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b…——2019 高考数学第 18 题答案解析

【答案】①$B=\frac{\pi}{3} ;②\left(\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ．

## 【解析】

## 【分析】

（1）利用正弦定理化简题中等式，得到关于 B 的三角方程，最后根据 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 均为三角形内角解得 $B=\frac{\pi}{3}$ ．（2）根据三角形面积公式 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a c \cdot \sin B$ ，又根据正弦定理和 $\frac{12}{25}$ 得到 $S_{\triangle A B C}$关于 $C$ 的函数，由于 $\mathrm{V} A B C$ 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于 $\frac{\pi}{2}$ 来计算 $C$ 的定义域，最后求解 $S_{\triangle A B C}(C)$ 的值域．

【详解】（1）根据题意 $a \sin \frac{A+C}{2}=b \sin A$ 由正弦定理得 $\sin A \sin \frac{A+C}{2}=\sin B \sin A$ ，因为 $00$ ，消去 $\sin A$ 得 $\sin \frac{A+C}{2}=\sin B$ 。
$0$A+B+C=\pi$ ，故 $\frac{A+C}{2}+B=\pi$ 不成立，所以 $\frac{A+C}{2}=B$ ，又因为 $A+B+C=\pi$ ，代入得 $3 B=\pi$ ，所以 $B=\frac{\pi}{3}$ ．
（2）因为 $\bigvee A B C$ 是锐角三角形，又由前问 $B=\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}

$\frac{\pi}{6}故 $S_{\triangle A B C}$ 的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查 $\mathrm{V} A B C$ 是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题．