2019年高考数学真题及答案解析

1．（5分）已知集合 $A = \{ x | - 1 < x < 2 \}$ $B { = } \{ x | x { > } 1 \}$ ，则A∪B＝（　　）

1．（5分）已知复数 $z { = } 2 { + } i$ ，则 $z \bullet _ { z } ^ { - } =$ （　　）A $\sqrt { 3 }$ B $\sqrt { 5 }$ C．3 D．5

2．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）

2．（5分）已知复数z＝2+i，则 $z \bullet _ { z } ^ { - } =$ （　　）A $\sqrt { 3 }$ B $\sqrt { 5 }$ C．3 D．5

3．（5 分）已知直线 l的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l } { { \mathbf { x } } { = } 1 { + } 3 { \mathrm { t } } } \\ { { \mathbf { y } } { = } 2 { + } 4 { \mathrm { t } } } \end{array} \right. ,$ （t为参数），则点（1，0）到直线 l的距离是（　　）A $\frac { 1 } { 5 }$ B $\frac { 2 } { 5 }$ C $\frac { 4 } { 5 }$ D． $\frac { 6 } { 5 }$

4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）

4．（5分）已知椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { 1 } { 2 }$ ，则（　　） A $a ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 }$ B $3 a ^ { 2 } { = } 4 b ^ { 2 }$ C $a { = } 2 b$ D． $3 a = 4 b$

5．（5分）已知双曲线 $\frac { \texttt { x } ^ { 2 } } { \texttt { a } ^ { 2 } } - y ^ { 2 } { = } 1 \ ( a { > } 0 )$ 的离心率是 ${ \sqrt { 5 } } ,$ ，则a＝（　　） A $\sqrt { 6 }$ B．4 C．2 D． $\frac { 1 } { 2 }$

6．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 $m _ { 2 } \textrm { - } m _ { 1 } { = } \frac { 5 } { 2 } l g \frac { \bar { \mathtt { E } } _ { 1 } } { \bar { \mathtt { E } } _ { 2 } }$ ，其中星等为 $m _ { k }$ 的星的亮度为 $E _ { k } \ ( k { = } 1 , \ 2 )$ ．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）

7．（5 分）设点 A，B，C 不共线，则“ $\overrightarrow { \mathrm { A B } }$ 与 $\overrightarrow { \tt A C }$ 的夹角为锐角”是“ $\vert \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } \vert > \vert \overrightarrow { B C } \vert ^ { \prime }$ 的（　　）

7．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 $m _ { 2 } - m _ { 1 } { = } \frac { 5 } { 2 } l g \frac { \bar { \mathtt { E } } _ { 1 } } { \bar { \mathtt { E } } _ { 2 } } ,$ ，其中星等为 $m _ { k }$ 的星的亮度为 $E _ { k } \ ( k { = } 1 , \ 2 )$ ）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）A $1 0 ^ { 1 0 . 1 }$ B．10.1 C $l g 1 0 . 1$ D． $1 0 ^ { - 1 0 . 1 }$

8．（5 分）如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P为圆周上的动点， $\angle A P B$ 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（　　）

A $4 \beta + 4 \mathrm { c o s } \beta$ B．4β+4sinβ C $2 \beta + 2 \mathrm { c o s } \beta$ D $2 \beta + 2 \sin \beta$

9．（5分）函数 $f \left( x \right) = \sin ^ { 2 } 2 x$ 的最小正周期是 $- { \frac { \pi } { 2 } } -$

11．（5分）设抛物线 $\scriptstyle { y ^ { 2 } = { 4 x } }$ 的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 $( x - 1 ) \ ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$

12．（5分）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　若l⊥$\underline { { \alpha } } , ~ l \perp m ,$ ，则 $m / / \alpha$

12．（5 分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为　40

13．（5分）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　若l⊥α，l⊥m，则m∥α

15．（13分）在 $\triangle A B C$ 中，a＝3，b﹣c＝2， $\mathrm { c o s } B { = } - { \frac { 1 } { 2 } } .$

（Ⅰ）求b，c 的值；

（Ⅱ）求 sin（B﹣C）的值

16．（13分）设 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列， $a _ { 1 } = - 1 0$ ，且 $a _ { 2 } + 1 0 , a _ { 3 } + 8 , a _ { 4 } + 6$ 成等比数列

（Ⅰ）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $S _ { n } ,$ ，求 $S _ { n }$ 的最小值

17．（12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有 5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

<table><tr><td colspan="1" rowspan="1">支付金额支付方式</td><td colspan="1" rowspan="1">不大于2000元</td><td colspan="1" rowspan="1">大于2000元</td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">仅使用A</td><td colspan="1" rowspan="1">27人</td><td colspan="1" rowspan="1">3人</td></tr><tr><td>仅使用B</td><td>24人</td><td>1人</td></tr></table>

（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；

（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由

18．（14分）如图，在四棱锥 $P \mathrm { ~ - ~ } A B C D$ 中， $P A \bot$ 平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，E 为 CD的中点

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若 $\angle A B C = 6 0 ^ { \circ }$ ，求证：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由

20．（14分）已知函数 $f \left( x \right) = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + x$

（Ⅰ）求曲线 $y { = } f \left( x \right)$ 的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证： $x - 6 { \leqslant } f \left( x \right) \ { \leqslant } x ;$

（Ⅲ）设 $F \ ( x ) \ = \mid f \ ( x ) { } \ - { } \ ( x { + } a ) \ \mid \ ( a { \in } \mathbf { R } )$ ），记 $F \left( x \right)$ 在区间[﹣2，4]上的最大值为M

（a）．当M（a）最小时，求a的值

1．（5 分）已知复数 $z=2+i$ ，则 $z \cdot \bar{z}=$

2．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 $s$ 值为

3．（5 分）已知直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+3 t, \\ y=2+4 t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），则点 $(1,0)$ 到直线 $l$ 的距离是（ ）

4．（5 分）已知椭圆 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则（）

5．（5 分）若 $x, y$ 满足 $|x| \leqslant 1-y$ ，且 $y \geqslant-1$ ，则 $3 x+y$ 的最大值为（ ）

6．（5 分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 $m_{2}-m_{1}=\frac{5}{2} l g \frac{\mathrm{E}_{1}}{\mathrm{E}_{2}}$ ，其中星等为 $m_{k}$ 的星的亮度为 $E_{k}(k=1,2)$ ．已知太阳的星等是 26．7，天狼星的星等是 -1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）

7．（5分）设点 $A, B, C$ 不共线，则＂ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 的夹角为锐角＂是＂$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}|>|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$＂的（）

8．（5 分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 $C: x^{2}+y^{2}=1+|x| y$ 就是其中之一 （如图）．给出下列三个结论：
①曲线 $C$ 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{2}$ ；
③曲线 $C$ 所围成的＂心形＂区域的面积小于 3 ．
其中，所有正确结论的序号是（ ）