A B C 中， sin ^ 2 A-sin ^ 2 B-…——2020 高考数学第 17 题答案解析

【答案】
①$\frac{2 \pi}{3}$ ；
② $3+2 \sqrt{3}$ ．

## 【解析】

【分析】
（1）利用正弦定理角化边，配凑出 $\cos A$ 的形式，进而求得 $A$ ；
（2）利用余弦定理可得到 $(A C+A B)^{2}-A C \cdot A B=9$ ，利用基本不等式可求得 $A C+A B$ 的最大值，进而得到结果．

【详解】①由正弦定理可得：$B C^{2}-A C^{2}-A B^{2}=A C \cdot A B$ ，
$\therefore \cos A=\frac{A C^{2}+A B^{2}-B C^{2}}{2 A C \cdot A B}=-\frac{1}{2}$ ，
$\because A \in(0, \pi), \quad \therefore A=\frac{2 \pi}{3}$ ．
②由余弦定理得：$B C^{2}=A C^{2}+A B^{2}-2 A C \cdot A B \cos A=A C^{2}+A B^{2}+A C \cdot A B=9$ ，

即 $(A C+A B)^{2}-A C \cdot A B=9$ ．
$\because A C \cdot A B \leq\left(\frac{A C+A B}{2}\right)^{2}$（当且仅当 $A C=A B$ 时取等号），
$\therefore 9=(A C+A B)^{2}-A C \cdot A B \geq(A C+A B)^{2}-\left(\frac{A C+A B}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}(A C+A B)^{2}$ ，
解得：$A C+A B \leq 2 \sqrt{3}$（当且仅当 $A C=A B$ 时取等号），
$\therefore \triangle A B C$ 周长 $L=A C+A B+B C \leq 3+2 \sqrt{3}, \therefore \triangle A B C$ 周长的最大值为 $3+2 \sqrt{3}$ ．
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值．