（本小题满分 12 分） 在 A B C 中，内角 A ,…——2014 高考数学第 16 题答案解析

【答案】（ I ）$a=3, c=2$ ；（II ）$\frac{23}{27}$

【解析】

试题分析：（ I ）由 $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=2$ 及向量数量积的定义，得 $c a \cos B=2$ ，从而 $c a=6$ ，故再寻求关于 $a, c$ 的等式是解题关键。由 $\cos B=\frac{1}{3}, b=3$ 不难想到利用余弦定理，得 $a^{2}+c^{2}=9+2 \times 2=13$ ，进而联立求

$a, c$ ；
（II）利用差角余弦公式将 $\cos (B-C)$ 展开，涉及 $B, C$ 的正弦值和余弦值．由 $\cos B=\frac{1}{3}$ 可求 $\sin B$ ，因为三角形三边确定，故可利用正弦定理或余弦定理求 $\sin A, \cos \mathrm{~A}$ 值，代入即可求 $\cos (B-C)$ 的值．

试题解析：（ I ）由 $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=2$ 得，$c a \cos B=2$. 又 $\cos B=\frac{1}{3}$ ．所以 $c a=6$ ．由余弦定理，得 $a^{2}+c^{2}=b^{2}+2 a c \cos B$.

又 $b=3$ ．所以 $a^{2}+c^{2}=9+2 \times 2=13$ ．解 $\left\{\begin{array}{l}a c=6, \\ a^{2}+c^{2}=13,\end{array}\right.$ 得 $a=2, c=3$ 或 $a=3, c=2$ ．因为 $a>c$ ．所以 $a=3, c=2$.
（II）在 $\triangle A B C$ 中， $\sin B=\sqrt{1-\cos ^{2} B}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．由正弦定理得，
$\sin C=\frac{c}{b} \sin B=\frac{2}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3}=\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ ．因 $\mathrm{a}=\mathrm{b}>\mathrm{c}$ ，所人 $C$ 为锐肩．因此 $\cos C=\sqrt{1-\sin ^{2} C}=\sqrt{1-\left(\frac{4 \sqrt{2}}{9}\right)^{2}}$
$=\frac{7}{9}$ ．于是 $\cos (\mathrm{B}-C)=\cos B \cos C+\sin B \sin C=\frac{1}{3} \cdot \frac{7}{9}+\frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{4 \sqrt{2}}{9}=\frac{23}{27}$ ．
【考点定位】1、平面向量数量积定义；2、正弦定理；3、余弦定理．