2014年高考数学真题及答案解析

1．（5 分）已知集合 $A = \{ x \vert x ^ { 2 } - 2 x = 0 \}$ $\mathsf { B } = \{ 0 , \ 1 , \ 2 \}$ ，则 A∩B=（　　）

2．（5分）下列函数中，在区间 $( 0 , \ + \infty )$ 上为增函数的是（　　）A $y = \sqrt { x + 1 }$ B $\mathsf { y } = \mathsf { \Omega } ( \mathsf { x } - 1 ) \mathsf { \Omega } ^ { 2 }$ C $y = 2 - x$ D $y = 1 0 8 0 . 5 ( x + 1 )$

2．（5分）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（　　）A $\mathsf { y } = \mathsf { e } ^ { \mathrm { ~ - ~ } \mathsf { x } }$ B．y=x C $\mathsf { y } = \mathsf { I n } \mathsf { x }$ D $\mathsf { y } = \left| \mathsf { x } \right|$

3．（5分）已知向 $\varXi = ( 2 , \ 4 ) , \ \vec { \mathrm { \bf ~ b } } = ( \ - \ 1 , \ 1 )$ ，则 $2 \overrightarrow { a } - \overrightarrow { b } =$ （　　）

4．（5分）当$m=7$，$n=3$时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（　　）

4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

5．（5分）设a，b是实数，则 $\mathsf { a } > \mathsf { b } ^ { \prime \prime }$ 是 $" \mathsf { a } ^ { 2 } > \mathsf { b } ^ { 2 \prime \prime }$ 的（　　）

5．（5分）设 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 是公比为q的等比数列，则 $\because 1 ^ { \prime \prime }$ 是 $\prime \prime \left\{ \sf { a } _ { \sf n } \right\}$ 为递增数列”的（　　）

6．（5分）已知函数 ${ \textsf { f } } \left( \mathbf { \nabla } \times \right) \ = { \frac { 6 } { \mathbf { x } } } - \ \log _ { 2 } \mathbf { x }$ ，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）

7．（5 分）在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1， $\sqrt { 2 } )$ ），若 $\mathsf { S } _ { 1 } , ~ \mathsf { S } _ { 2 } , ~ \mathsf { S } _ { 3 }$ 分别表示三棱锥D﹣ABC在 $\mathsf { x O y }$ yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（　　）A $S _ { 1 } { = } S _ { 2 } { = } S _ { 3 }$ B． $\mathsf { S } _ { 2 } \mathsf { = } \mathsf { S } _ { 1 }$ 且 $\mathsf { S } _ { 2 } \neq \mathsf { S } _ { 3 }$ C． $\mathsf { S } _ { 3 } { = } \mathsf { S } _ { 1 }$ 且 $\mathsf { S } _ { 3 } \neq \mathsf { S } _ { 2 }$ D． $S _ { 3 } { = } S _ { 2 }$ 且 $\mathsf { S } _ { 3 } \ne \mathsf { S } _ { 1 }$

7．（5分）已知圆C： $( x - 3 ) 2 + ( y - 4 ) 2 = 1$ 和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m$> 0 )$ ），若圆C上存在点 P，使得 $\angle A P B = 9 0 ^ { \circ }$ ，则m的最大值为（　　）

8．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（　　）

8．（5 分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t（单位：分钟）满足函数关系 $p { = } { \tt a t } ^ { 2 } { + } { \tt b t } { + } { \tt c }$ （a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

9．（5 分）复数 $( \frac { 1 + i } { 1 - i } ) ^ { 2 } = - 1 .$

10．（5分）设双曲线C 的两个焦点为 $( ~ - ~ { \sqrt { 2 } } , ~ 0 ) , ~ ( { \sqrt { 2 } } , ~ 0 )$ ），一个顶点是（1，0），则C 的方程为 $\mathbf { x } ^ { 2 } - \mathbf { y } ^ { 2 } = 1$

11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 $\underline { { 2 } } \sqrt { 2 }$

12．（5 分）若等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 ${ \sf a } _ { 7 } { \sf + a } _ { 8 } { \sf + a } _ { 9 } > 0 , { \sf a } _ { 7 } { \sf + a } _ { 1 0 } { \sf < 0 }$ ，则当 $n = 8$ 时， $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和最大

13．（5 分）把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产

品C不相邻，则不同的摆法有　36　种

14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：

<table><tr><td>工序 时间</td><td>粗加工</td><td>精加工</td></tr><tr><td>原料</td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">原料A</td><td colspan="1" rowspan="1">9</td><td colspan="1" rowspan="1">15</td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">原料B</td><td colspan="1" rowspan="1">6</td><td colspan="1" rowspan="1">21</td></tr></table>

则最短交货期为　42 个工作日

15．（13 分）已知 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 是等差数列，满足 $\mathsf { a } _ { 1 } = 3 , \mathsf { a } _ { 4 } = 1 2$ ，数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 满足 $\mathsf { b } _ { 1 } = 4$ $b _ { 4 } = 2 0$ ，且 $\{ \boldsymbol { \mathsf { b } } _ { \mathsf { n } } - \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 为等比数列

（1）求数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 和 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的通项公式；

（2）求数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的前n项和

17．（14 分）如图，在三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 中，侧棱垂直于底面， $A B \bot B C$ $\mathsf { A A } _ { 1 } = \mathsf { A C } = 2$ ，BC=1，E、F 分别为 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 、BC的中点

（1）求证：平面 $\mathsf { A B E \bot }$ 平面 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { B C C } _ { 1 }$ ；

（2）求证： $\mathsf C _ { 1 } \mathsf F / /$ 平面 ABE；

（3）求三棱锥E﹣ABC 的体积

1．（5 分）已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x=0\right\}, B=\{0,1,2\}$ ，则 $A \cap B=$（）

2．（5 分）下列函数中，在区间 $(0,+\infty)$ 上为增函数的是（）

3．（5 分）曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=-1+\cos \theta \\ y=2+\sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数）的对称中心（）

4．（5 分）当 $m=7, n=3$ 时，执行如图所示的程序框图，输出的 $S$ 的值为（）

5．（5 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则＂$q>1$＂是＂$\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列＂的

6．（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 \geqslant 0 \\ k x-y+2 \geqslant 0 \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$ ，且 $z=y-x$ 的最小值为 -4 ，则 $k$ 的值为（

7．（5 分）在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 $A(2,0,0), B(2,2,0), C (0,2,0), D(1,1, \sqrt{2})$ ，若 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 分别表示三棱锥 D－ABC 在 $x O y$ ， $\mathrm{yOz}, ~ \mathrm{zOx}$ 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）

8．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为＂优秀＂＂合格＂＂不合格＂．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称＂学生甲比学生乙成绩好＂。如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，

则这一组学生最多有

9．（ 5 分）复数 $\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)^{2}=$ $\_\_\_\_$ －1。