2014年高考数学真题及答案解析

1．（5 分）若集合 $\mathrm{A}=\{0,1,2,4\}, \mathrm{B}=\{1,2,3\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$
A．$\{0,1,2,3,4\}$
B．$\{0,4\}$
C．$\{1,2\}$
D ．
\｛3\}

2．（5 分）下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是

3．（5 分）已知向量 $\vec{a}=(2,4), \vec{b}=(-1,1)$ ，则 $2 \vec{a}-\vec{b}=$（）

4．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）

5．（5 分）设 $a, b$ 是实数，则＂$a>b$＂是＂$a{ }^{2}>b^{2}$＂的

6．（5 分）已知函数 $f(x)=\frac{6}{x}-\log _{2} x$ ，在下列区间中，包含 $f(x)$ 零点的区间是

7．（5 分）已知圆 $\mathrm{C}:(\mathrm{x}-3)^{2}+(\mathrm{y}-4)^{2}=1$ 和两点 $\mathrm{A}(-\mathrm{m}, 0), \mathrm{B}(\mathrm{m}, 0)(\mathrm{m} >0$ ），若圆 C 上存在点 P ，使得 $\angle A P B=90^{\circ}$ ，则 m 的最大值为（）

8．（5 分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为＂可食用率＂，在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t （单位：分钟）满足函数关系 $p=a t^{2}+b t+c$（a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）

9．（ 5 分）若 $(x+i) i=-1+2 i(x \in R)$ ，则 $x=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

10．（5 分）设双曲线 C 的两个焦点为 $(-\sqrt{2}, 0),(\sqrt{2}, 0)$ ，一个顶点是（ 1 ， $0)$ ，则 C 的方程为 $\_\_\_\_$ $x^{2}-y^{2}=1$ ．

11．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{2}$ ．

侧（左）视图

12．（ 5 分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=2, \cos \mathrm{C}=\frac{1}{4}$ ，则 $\mathrm{c}=$ $\_\_\_\_$ 2 ； $\sin \mathrm{A}=$ $\_\_\_\_$ $\frac{\sqrt{15}}{8}$ $\_\_\_\_$ ．

13．（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}y \leqslant 1 \\ x-y-1 \leqslant 0 \text { ，则 } z=\sqrt{3} x+y \text { 的最小值为 } \\ x+y-1 \geqslant 0\end{array}\right.$ $\_\_\_\_$ 1 ．

14．（5 分）顾客请一位工艺师把 A，B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间 （单位：工作日）如下：

| 工序 | 粗加工 | 精加工 |
| :---: | :--- | :--- |
| 时间 | | |
| 原料 | | |

| 原料 A | 9 | 15 |
| :---: | :--- | :--- |
| 原料 B | 6 | 21 |

则最短交货期为 $\_\_\_\_$ 42个工作日。

15．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，满足 $a_{1}=3, a_{4}=12$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=4$ ， $b_{4}=20$ ，且 $\left\{b_{n}-a_{n}\right\}$ 为等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

16．（13 分）函数 $f(x)=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的部分图象如图所示．
（I）写出 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小正周期及图中 $\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}$ 的值；
（II）求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{12}\right]$ 上的最大值和最小值．

17．（14 分）如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱垂直于底面，$A B \perp B C$ ， $A A_{1}=A C=2, B C=1, E, F$ 分别为 $A_{1} C_{1} , B C$ 的中点．
（1）求证：平面 $A B E \perp$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；
（2）求证： $\mathrm{C}_{1} \mathrm{~F} / /$ 平面 ABE ；
（3）求三棱锥 $E-A B C$ 的体积．

18．（13 分）从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

| 排号 | 分组 | 频数 |
| :--- | :--- | :--- |

| 1 | ［0，2） | 6 |
| :--- | :--- | :--- |
| 2 | ［2，4） | 8 |
| 3 | ［4，6） | 17 |
| 4 | ［6，8） | 22 |
| 5 | ［8，10） | 25 |
| 6 | ［10，12） | 12 |
| 7 | ［12，14） | 6 |
| 8 | ［14，16） | 2 |
| 9 | ［16，18） | 2 |
| 合计 | | 100 |

（I）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率；
（II）求频率分布直方图中的 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的值；
（III）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）

19．（14 分）已知椭圆 $C: x^{2}+2 y^{2}=4$ ．
（ I ）求椭圆 C 的离心率；
（II）设 O 为原点，若点 A 在直线 $\mathrm{y}=2$ 上，点 B 在椭圆 C 上，且 $\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$ ，求线段 AB 长度的最小值．

20．（13 分）已知函数 $f(x)=2 x^{3}-3 x$ ．
（I）求 $f(x)$ 在区间 $[-2,1]$ 上的最大值；
（II）若过点 $\mathrm{P}(1, \mathrm{t})$ 存在 3 条直线与曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 相切，求 t 的取值范围；
（III）问过点 $A(-1,2), B(2,10), C(0,2)$ 分别存在几条直线与曲线 $y=f$ （x）相切？（只需写出结论）

1．（5分）设 $\mathrm{z}=\frac{10 \mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}$ ，则 z 的共轭复数为

2．（5分）设集合 $M=\left\{x \mid x^{2}-3 x-4<0\right\}, N=\{x \mid 0 \leq x \leq 5\}$ ，则 $M \cap N=$

3．（5分）设 $\mathrm{a}=\sin 33^{\circ}, \mathrm{b}=\cos 55^{\circ}, \mathrm{c}=\tan 35^{\circ}$ ，则（ ）

4．（5分）若向量 $\vec{a} , \vec{b}$ 满足：$|\vec{a}|=1,(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{a},(2 \vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}|=($

5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）

6．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A , B$ 两点，若 $\triangle A F_{1} B$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的方程为

7．（5分）曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}-1}$ 在点 $(1,1)$ 处切线的斜率等于（ ）

8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4 ，底面边长为 2 ，则该球的表面积为

9．（5分）已知双曲线 $C$ 的离心率为 2 ，焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，点 $A$ 在 $C$ 上，若 $\left|F_{1} A\right|=2 \mid F { }_{2} A \mid$ ，则 $\cos \angle A F_{2} F_{1}=$

10．（5分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{4}=2, a_{5}=5$ ，则数列 $\left\{\operatorname{Ig} a_{n}\right\}$ 的前 8 项和等于