（本小题满分 13 分）已知函数 f(x)=x cos x…——2014 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（1）单调迷减区间为 $(2 k \pi,(2 k+1) \pi)\left(k \in N^{*}\right)$ ，
单调迷增区间为 $((2 k+1) \pi,(2 k+2) \pi)\left(k \in N^{*}\right)$ 。（2）详见解析

## 【解析】

试题分析：（1）对函数 $f(x)$ 求导得到导函效 $f^{\prime}(x)(x>0)$ ，求 $f^{\prime}(x)$ 大于 0 和小于 0 的解集得到单调减区间和单调增区间，但是必须注意正余弦的周期性和原函数的定义域 $(0,+\infty)$ ．
（2）利用（1）问的结果可知函数 $f(x)$ 在区问 $(0, \pi)$ 上是浩造减的，即 $f(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 上至多一个零点，根据正余弦的函数值可得 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \Rightarrow x_{1}=\frac{\pi}{2}$ ，再根据 $f(x)$ 在区间上 $(n \pi,(n+1) \pi)$ 单调性和函数 $f(x)$ 在区间 $(n \pi,(n+1) \pi)$ 橀点处函数值异号可得 函数 $f(x)$ 在区间 $(n \pi,(n+1) \pi)$ 上有且只有一个零点，即 $n \pi

$\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}^{2}}<\frac{2}{3}$.
试题解析数 $f(x)$ 求导可得 $f^{\prime}(x)=\cos x-x \sin x-\cos x=-x \sin x(x>0)$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ 可得 $x=k \pi\left(k \in N^{*}\right)$ ，当 $x \in(2 k \pi,(2 k+1), \pi)\left(k \in N^{*}\right)$ 时， $\sin x>0$ ．此时 $f^{\prime}(x)<0$ ；

当 $x \in((2 k+1) \pi,(2 k+2) \pi)\left(k \in N^{*}\right)$ 时， $\sin x<0$ ．过时 $f^{\prime}(x)>0$ ，
故函数 $f(x)$ 的单调迷减区间为 $(2 k \pi,(2 k+i) \pi)\left(k \in N^{*}\right)$ ，
单调递增区间为 $((2 k+1) \pi,(2 k+2) \pi)\left(k \in N^{*}\right)$ ．
②由（1）可知函数 $f(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 上单调迷减，又 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ ，所以 $x_{1}=\frac{\pi}{2}$ ，
当 $n \in N^{*}$ 时，因为 $f(n \pi) f((n+1) \pi)=\left[(-1)^{n} n \pi+1\right]\left[(-1)^{n+1}(n+1) \pi+1\right]<0$ ，且函数 $f(x)$ 的图像是连续不断的，所以 $f(x)$ 在区间 $(n \pi,(n+1) \pi)$ 内至少存在一个零点，又 $f(x)$ 在区间 $(n \pi,(n+1) \pi)$ 上是单调的，故 $n \pi

当 $n=1$ 时，$\frac{1}{x_{1}^{2}}=\frac{4}{\pi^{2}}<\frac{2}{3}$ ；
当 $n=2$ 时，$\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}<\frac{1}{\pi^{2}}(4+1)<\frac{2}{3}$ ；
当 $n \geq 3$ 时，
$\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}+\frac{1}{x_{3}^{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}^{2}}<\frac{1}{\pi^{2}}\left[4+1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{(n-1)^{2}}\right]$
$\Rightarrow \frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}+\frac{1}{x_{3}^{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}^{2}}<\frac{1}{\pi^{2}}\left[5+\frac{1}{1 \times 2}+\cdots+\frac{1}{(n-2)(n-1)}\right]$
$\Rightarrow \frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}+\frac{1}{x_{3}^{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}^{2}}<\frac{1}{\pi^{2}}\left[5+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}\right)\right]=\frac{1}{\pi^{2}}\left(6-\frac{1}{n-1}\right)<\frac{6}{\pi^{2}}<\frac{2}{3}$,
综上所述，对一切的 $n \in N^{*}, \frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}^{2}}<\frac{2}{3}$ ．
【考点定位】导数 单调性 放缩法 裂项求和