对于 c>0，当非零实数 a , b 满足 4 a^ 2…——2014 高考数学第 15 题答案解析

【答案】－1

## 【解析】

试题分析：设 $2 a+b=t$ ，则 $b=t-2 a$ ，代入到 $4 a^{2}-2 a b+b^{2}-c=0$ 中，得

$$ 4 a^{2}-2 a(t-2 a)+(t-2 a)^{2}-c=0 \text {, 即 } 12 a^{2}-6 t a+t^{2}-c=0 $$

因为关于 $a$ 的二次方程（1）有实根，所以 $\Delta=36 t^{2}-4 \times 12\left(t^{2}-c\right) \geq 0$ ，可得 $t^{2} \leq 4 c$ ，
$|2 a+b|$ 取最大值时，$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2} \sqrt{c} \\ b=\sqrt{c}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2} \sqrt{c} \\ b=-\sqrt{c}\end{array}\right.$ ，
当 $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2} \sqrt{c} \\ b=\sqrt{c}\end{array}\right.$ 时，$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{4}{c}=\frac{2}{\sqrt{c}}+\frac{2}{\sqrt{c}}+\frac{4}{c}=\frac{4}{\sqrt{c}}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{2}\right)^{2}-1>0$ ，
当 $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2} \sqrt{c} \\ b=-\sqrt{c}\end{array}\right.$ 时，$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{4}{c}=-\frac{2}{\sqrt{c}}-\frac{2}{\sqrt{c}}+\frac{+}{c}=-\frac{4}{\sqrt{c}}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{\sqrt{c}}-\frac{1}{2}\right)^{2}-1 \geq-1$ ，
综上可知当 $c=4, a=-1, b=-2$ 时，$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{4}{c}$ 的最小值为 -1 ．
【考点定位】 1 、一元二次方程根的判别式； 2 、二㐸函数求值域．