（本小题满分 12 分） 在 A B C 中，角 A、 B…——2013 高考数学第 17 题答案解析

［答案］（1）$A=\frac{\pi}{3} \quad$（II）$\frac{5}{7}$
［解析］分析：由已知条件 $\cos 2 A-3 \cos (B+C)=1$，先用 $J+C=\pi-A$ 消去 $B, C$，再利用倍角公式就可求出 $\cos A$．先用面积公式和余弦定 全分别求出：一再用正弦定理即可求得 $\sin B \sin C$．

解：（ I ）由 $\cos 2 A-3 \cos (B+C)=1$，得 $\cos ^{2} A+3 \cos A-2=0$，
即 $(2 \cos A-1)(\cos A+2)=0$，解得 $\cos A=\frac{1}{2}$ 或 $\cos A=-2$（舍去）．
因为 $0<A<\pi$，所以 $A=\frac{\pi}{3}$．
（II）由 $S=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} b c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} b c=2 \sqrt{3}$，得 $; c=20$．又 $b=5$，知 $c=4$．
由余弦定理得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A=2-15-20=21$，故 $a=\sqrt{21}$．
又由正弦定理得 $\sin B \sin C=\frac{b}{a} \sin \therefore \frac{c}{a} \quad A=\frac{b c}{a^{2}} \sin ^{2} A=\frac{20}{21} \times \frac{3}{4}=\frac{5}{7}$．
［ 考点定位］本题考查解三争形及三角恒等变换，考查等价变换的转化思想。