（17）（本小题满分 12 分）
为了测量两山顶 M ， N 间的距离，飞机沿水平方向在 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点进行测量， $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。
（17）（本小题满分 12 分） 为了测量两山顶 M， N…——2009 高考数学第 17 题答案解析
2009_老新课标卷 (2009·理)
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【解答】
解：
方案一：（1）需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角 $\alpha_{1}, \beta_{1}$ ；B点到M，
N 的俯角 $\alpha_{2}, \beta_{2} ; \mathrm{A}, \mathrm{B}$ 的距离 d （如图）所示）．
（2）第一步：计算AM．由正弦定理 $A M=\frac{d \sin \alpha_{2}}{\sin \left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)}$ ；
第二步：计算 AN ．由正弦定理 $A N=\frac{d \sin \beta_{2}}{\sin \left(\beta_{2}-\beta_{1}\right)}$ ；
第三步：计算 MN ．由余弦定理 $M N=\sqrt{A M^{2}+A N^{2}-2 A M \times A N \cos \left(\alpha_{1}-\beta_{1}\right)}$ ．
方案二：（1）需要测量的数据有：
A 点到 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 点的俯角 $\alpha_{1}, \beta_{1} ; \mathrm{B}$ 点到 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 点的府角 $\alpha_{2}, \beta_{2} ; \mathrm{A}, \mathrm{B}$ 的距离
d （如图所示）．
（2）第一步：计算BM．由正弦定理 $B M=\frac{d \sin \alpha_{1}}{\sin \left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)}$ ；
第二步：计算 BN ．由正弦定理 $B N=\frac{d \sin \beta_{1}}{\sin \left(\beta_{2}-\beta_{1}\right)}$ ；
第三步：计算 MN 。由余弦定理 $M N=\sqrt{B M^{2}+B N^{2}-2 B M \times B N \cos \left(\beta_{2}+\alpha_{2}\right)}$
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