（14 分）已知向量 a =(cos x, sin x),…——2017 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（14 分）（2017•江苏）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}=(\cos \mathrm{x}, \sin \mathrm{x}), \overrightarrow{\mathrm{b}}=(3,-\sqrt{3}), \mathrm{x} \in[0$ ，

$\pi]$ ．
（1）若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $x$ 的值；
（2）记 $f(x)=\vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求 $f(x)$ 的最大值和最小值以及对应的 $x$ 的值．
【分析】（1）根据向量的平行即可得到 $\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，问题得以解决，
（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出
【解答】解：（1）$\because \vec{a}=(\cos x, \sin x), \vec{b}=(3,-\sqrt{3}), \vec{a} / / \vec{b}$ ，
$\therefore-\sqrt{3} \cos x=3 \sin x$,
$\therefore \tan \mathrm{x}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
$\because x \in[0, \pi]$ ，
$\therefore x=\frac{5 \pi}{6}$ ，
②$f(x)=\vec{a} \cdot \vec{b}=3 \cos x-\sqrt{3} \sin x=2 \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x-\frac{1}{2} \sin x\right)=2 \sqrt{3} \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ ，
$\because x \in\left[\begin{array}{ll}0, & \pi\end{array}\right]$,
$\therefore x+\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}\right]$ ，
$\therefore-1 \leqslant \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$,
当 $x=0$ 时，$f(x)$ 有最大值，最大值 3 ，
当 $x=\frac{5 \pi}{6}$ 时，$f(x)$ 有最小值，最大值 $-2 \sqrt{3}$ ．
【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题