2017年高考数学真题及答案解析

1．（5分）若集合 $A = \{ x \vert - 2 < x < 1 \}$ ${ \sf B } = \left\{ { \sf x } \vert { \sf x } < - 1 \right.$ 或 $x > 3 \}$ ，则A∩B=（　　）A $\{ { \pmb x } | - 2 { < } { \pmb x } { < } - 1 \}$ B $\{ { \pmb { x } } | - 2 { < } { \pmb { x } } { < } 3 \}$ C $\{ { \pmb { \times } } | - 1 { < } { \pmb { \times } } { < } 1 \}$ D $\{ { \pmb { x } } | 1 { < } { \pmb { x } } { < } 3 \}$

1．（5分）已知全集U=R，集合 $A = \{ x \vert x < - 2$ 或 $x > 2 3$ ，则 $\complement _ { \cup } \mathsf { A } =$ （　　）

2．（5 分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（　　）A $( \mathbf { \partial } - \infty , \mathbf { \partial } 1 )$ B $\big ( \begin{array} { l } { - \infty , } & - \ : 1 \big ) \end{array}$ C $( 1 , \ + \infty )$ D $( \mathbf { \partial } - 1 , \mathbf { \partial } + \infty )$

2．（5 分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（　　）A $( \mathbf { \partial } - \infty , \mathbf { \partial } 1 )$ B $\big ( \begin{array} { l } { - \infty , } & - \ : 1 \big ) \end{array}$ C $( 1 , \ + \infty )$ D $( \mathbf { \partial } - 1 , \mathbf { \partial } + \infty )$

3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A．2 B $\frac { 3 } { 2 }$ C $\frac { 5 } { 3 }$ D $\frac { 8 } { 5 }$

3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A．2 B $\frac { 3 } { 2 }$ C $\frac { 5 } { 3 }$ D $\frac { 8 } { 5 }$

5．（5分）已知函数 ${ \textbf { \textsf { f } } } ( { \textbf { \textsf { x } } } ) = 3 ^ { \times { \textbf { - } } } ( \frac { 1 } { 3 } ) ^ { \textbf { \textsf { x } } } ,$ ，则f（x）（　　）

5．（5分）已知函数 ${ \textbf { \textsf { f } } } ( { \textbf { \textsf { x } } } ) = 3 ^ { \times } - ( \frac { 1 } { 3 } ) ^ { \times }$ ，则f（x）（　　）

6．（5分）设 $\vec { \cdot } \vec { \pi } , \vec { \pi }$ 为非零向量，则“存在负数λ，使得 $\stackrel { } { \pi } = \lambda \stackrel { } { \ n } ^ { \prime }$ $u _ { \pi } ^ { } . \overset { } { \circ } < 0 ^ { \prime \prime }$ 的（　　）

6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（　　）

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

A $3 \sqrt { 2 }$ B $2 \sqrt { 3 }$ C $2 \sqrt { 2 }$ D．2

8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M约为 $3 ^ { 3 6 1 }$ ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为 $1 0 ^ { 8 0 }$ ，则下列各数中与 $\frac { \mathbb { M } } { \mathbb { N } }$ 最接近的是（　　）
（参考数据： $\lvert \ g 3 \approx 0 . 4 8 \ \rangle$ A $1 0 ^ { 3 3 }$ B $\boldsymbol { 1 0 ^ { 5 3 } }$ C $1 0 ^ { 7 3 }$ D $1 0 ^ { 9 3 }$

10．（5 分）若等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 和等比数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 满足 $\mathsf { a } _ { 1 } = \mathsf { b } _ { 1 } = - \ 1$ $a _ { 4 } = b _ { 4 } = 8$ ，则 $\frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } } =$
1

11．（5 分）在极坐标系中，点 A 在圆 $\rho ^ { 2 } - 2 \rho \ c o s \Theta - 4 \rho \ s \mathsf { i n } \Theta + 4 = 0$ 上，点 P 的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为　1

12．（5 分）已知点 P 在圆 $\mathsf { x } ^ { 2 } { + } \mathsf { y } ^ { 2 } { = } 1$ 上，点 A 的坐标为（﹣2，0），O 为原点，则$\overrightarrow { \mathtt { A } \hat { \mathsf { D } } \bullet \overrightarrow { \mathtt { A } \bar { \mathtt { P } } } }$ 的最大值为　6

12．（5 分）在平面直角坐标系xOy中，角α 与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若 $\sin a = \frac { 1 } { 3 }$ ，则 $\cos ( \alpha - \beta ) = - \frac { 7 } { 9 }$

13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若 $a > b > c$ ，则 $\mathsf { a } ^ { + } \mathsf { b } > \mathsf { c } ^ { \prime \prime }$ 是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 $\_ 1 , \_ 2 , \_ 3$

14．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

（i）男学生人数多于女学生人数；

（ii）女学生人数多于教师人数；

（iii）教师人数的两倍多于男学生人数

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为　6

②该小组人数的最小值为　12

15．（13 分）在 $\triangle A B C$ 中， $\angle A = 6 0 ^ { \circ } , c = \frac { 3 } { 7 } a$

（1）求sinC的值；

（2）若 a=7，求 $\triangle A B C$ 的面积

15．（13分）已知等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 和等比数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 满足 $a _ { 1 } = b _ { 1 } = 1 , ~ \mathsf { a } _ { 2 } + \mathsf { a } _ { 4 } = 1 0 , ~ \mathsf { b } _ { 2 } \mathsf { b } _ { 4 } = \mathsf { a } _ { 5 }$ （Ⅰ）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求和： $\mathsf { b } _ { 1 } { + } \mathsf { b } _ { 3 } { + } \mathsf { b } _ { 5 } { + } . . . ^ { + } \mathsf { b } _ { 2 \mathsf { n } - 1 }$

17．（13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（Ⅱ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；

（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例

18．（14 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，$PA=AB=BC=2$，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点

（1）求证：PA⊥BD；

（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；

（3）当PA∥平面BDE 时，求三棱锥E﹣BCD的体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直

19．（14 分）已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A（﹣2，0），B（2，0），焦点在 x轴上，离心率为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M，N，过D 作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN 的面积之比为4：5

1．（5 分）若集合 $A=\{x \mid-2<x<1\}, B=\{x \mid x<-1$ 或 $x>3\}$ ，则 $A \cap B=$（）

2．（5 分）若复数 $(1-i)(a+i)$ 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 $a$ 的取值范围是

3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为

4．（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x \leqslant 3 \\ x+y \geqslant 2, \text { 则 } x+2 y \text { 的最大值为（）} \\ y \leqslant x\end{array}\right.$

5．（5 分）已知函数 $f(x)=3^{x}-\left(\frac{1}{3}\right) x$ ，则 $f(x)(\quad)$

6．（5分）设 $\vec{\pi}, \vec{n}$ 为非零向量，则＂存在负数 $\lambda$ ，使得 $\vec{\pi}=\lambda \vec{n}$＂是＂$\vec{\pi} \cdot \vec{n}<0$＂的（）

7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）

俯视图