（5分）设 x、 y、 z 为正数，且 2^ x =3^…——2017 高考数学第 11 题答案解析

【考点】72：不等式比较大小。
【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】 $\mathrm{x} , \mathrm{y} , \mathrm{z}$ 为正数，令 $2^{\mathrm{x}}=3^{\mathrm{y}}=5^{\mathrm{z}}=\mathrm{k}>1$ ． $\lg \mathrm{k}>0$ ．可得 $\mathrm{x}=\frac{\lg \mathrm{k}}{\lg 2}, \mathrm{y}=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg 3}, \mathrm{z}=$

$\frac{\operatorname{lgk}}{\lg 5}$ 。可得 $3 y=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg \sqrt[3]{3}}, 2 x=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg \sqrt{2}}, 5 z=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg \sqrt[5]{5}}$ 。根据 $\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}>\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}=\sqrt[10]{32}>\sqrt[10]{25}=\sqrt[5]{5}$ ．即可得出大小关系．
另解：$x , y , z$ 为正数，令 $2^{x}=3^{y}=5^{z}=k>1$ ． $\lg k>0$ ．可得 $x=\frac{\lg k}{\lg 2}, y=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg 3}, z=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg 5}$ ．$\frac{2 x}{3 y}=\frac{2}{3} \times \frac{\lg 3}{\lg 2}=\frac{\lg 9}{\lg 8}>1$ ，可得 $2 x>3 y$ ，同理可得 $5 z>2 x$ ．
【解答】解： $\mathrm{x} , \mathrm{y} , \mathrm{z}$ 为正数，
令 $2^{x}=3^{y}=5^{z}=k>1$ 。 $\operatorname{lgk}>0$ 。
则 $\mathrm{x}=\frac{\lg \mathrm{k}}{\lg 2}, \mathrm{y}=\frac{\lg \mathrm{k}}{\lg 3}, \mathrm{z}=\frac{\lg \mathrm{k}}{\lg 5}$ ．
$\therefore 3 y=\frac{l g k}{l g \sqrt[3]{3}}, \quad 2 x=\frac{l g k}{l g \sqrt{2}}, \quad 5 z=\frac{l g k}{l g \sqrt[5]{5}}$ ．
$\because \sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}>\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}, \sqrt{2}=\sqrt[10]{32}>\sqrt[10]{25}=\sqrt[5]{5}$.
$\therefore \lg \sqrt[3]{3}>\lg \sqrt{2}>\lg \sqrt[5]{5}>0$.
$\therefore 3 y<2 x<5 z$ ．
另解：$x , y , z$ 为正数，
令 $2^{x}=3^{y}=5^{z}=k>1$ 。 $\operatorname{lgk}>0$ 。
则 $\mathrm{x}=\frac{\lg \mathrm{k}}{\lg 2}, \mathrm{y}=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg 3}, \mathrm{z}=\frac{\operatorname{lgk}}{\lg 5}$ ．
$\therefore \frac{2 \mathrm{x}}{3 \mathrm{y}}=\frac{2}{3} \times \frac{\lg 3}{\lg 2}=\frac{\lg 9}{\lg 8}>1$ ，可得 $2 \mathrm{x}>3 \mathrm{y}$ ，
$\frac{5 z}{2 x}=\frac{5}{2} \times \frac{\lg 2}{\lg 5}=\frac{\lg 2^{5}}{\lg 5^{2}}>1$ ．可得 $5 z>2 x$ ．
综上可得： $5 z>2 x>3 y$ ．
解法三：对 k 取特殊值，也可以比较出大小关系。
故选：D．
【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．