20．（本小题满分 13 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径成为 M 到 N 的一条＂L 路径＂。如图 6 所示的路径 $M M_{1} M_{2} M_{3} N$ 与路径 $M N_{1} N$ 都是 M 到 N 的＂L 路径＂。某地有三个新建的居民区，分别位于平面 xOy 内三点 $A(3,20), B(-10,0), C(14,0)$ 处。现计划在 x 轴上方区域 （包含 x 轴）内的某一点 P 处修建一个文化中心。
图6
（I）写出点 P 到居民区 A 的＂L 路径＂长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区，＂L 路径＂不能进入保护区，请确定点 P 的位置，使其到三个居民区的＂ L 路径＂长度值和最小。
参考答案(1) 点 P 到居民区 A 的＂ L 路径＂长度最小值为 $|x-3|+|y-20|, x \in R, y \in[0,+\infty)$．; (2) 依题意，点 P 到三个居民区的＂ L 路径＂长度之和的最小值为点 P 分别到三个居民区的＂ L 路径＂长度之和（记为 d）的最小值； 1、当 $y \geq 1$ 时，$d=|x+10|+|x-14|+2|y|+|y-20|$，因为 $d_{1}(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3| \geq|x+10|+|x-14|$ 当且仅当 $x=3$ 时等号成立； 又因为 $|x+10|+|x-14| \geq 24$，当且仅当 $x \in[-10,14]$ 时等号成立， 所以 $d_{1}(x) \geq 24$，当且仅当 $x=3$ 时等号成立。 $d_{2}(y)=2 y+|y-20| \geq 21$，当且仅当 $y=1$ 时等号成立． 故当 P 的坐标为 $(3,1)$ 时， P 到三个居民区的＂L路径＂长度之和最小，且最小值为 45； 2、当 $0 \leq y \leq 1$ 时，由于＂ L 路径＂不能进入保护区，所以 $d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|$＂，此时 $d_{1}(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|$， $d_{2}(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y \geq 21$，有 1 知，$d_{1}(x) \geq 24, d_{1}(x)+d_{2}(y) \geq 45$，当且仅当 $x=3, y=1$ 时等号成立，综上所述，在 $\mathrm{P}(3,1)$ 处修建文化中心，可以使得＂L路径＂长度之和最小