设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合，对于映射 f:…——2009 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（1）（2）（3）

1．设集合 $S=\{x| | x \mid<5\}, T=\left\{x \mid x^{2}+4 x-21<0\right\}$ ，则 $S \cap T=$
A．$\{x \mid-7B．$\{x \mid 3C．$\{x \mid-5D．$\{x \mid-7

【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。
解析：由题 $\boldsymbol{S}=(\mathbf{- 5 , 5}), \mathbf{T}=(\mathbf{- 7 , 3})$ ，故选择 C。
2．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}a+\log _{2} x \text {（当 } x \geq 2 \text { 时）} \\ \frac{x^{2}-4}{x-2} \text {（当 } x<2 \text { 时）}\end{array}\right.$ 在点 $x=2$ 处连续，则常数 $a$ 的值是
A． 2
B． 3
C． 4
D． 5

【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。
解析：由题得 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{\operatorname { l o g }}^{2} \mathbf{2}=\mathbf{2}+\mathbf{2} \Rightarrow \boldsymbol{a}=\mathbf{3}$ ，故选择 B。
3 ．复数 $\frac{(1+2 i)^{2}}{3-4 i}$ 的值是
A．-1
B． 1
C．$-i$
D．$i$

【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。
解析：$\frac{(1+2 i)^{2}}{3-4 i}=\frac{(4 i-3)(3+4 i)}{25}=\frac{-16-9}{25}=-1$ ，故选择 A 。
4．已知函数 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)(x \in R)$ ，下面结论错误的是
A．函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$
B．函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是增函数
C．函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=0$ 对称
D．函数 $f(x)$ 是奇函数

【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文 4）
解： $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=-\boldsymbol{\operatorname { c o s }} \boldsymbol{x}$ ，其中 $\mathrm{A} , \mathrm{C}$ 显然正确，故选择 D 。

5．如图，已知六棱锥 $P-A B C D E F$ 的底面是正六边形， $P A \perp$ 平面 $A B C, P A=2 A B$ ，则下列结论正确的是
A．$P B \perp A D$
B．平面 $P A B \perp$ 平面 $P B C$

、C．直线 $B C / /$ 平面 $P A E$
D．直线 $P D$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $45^{\circ}$

【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文 6）解：由三垂线定理，因 AD 与 AB 不相互垂直，排除 A ；作 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{G} \perp \boldsymbol{P} \boldsymbol{B}$ 于 $\boldsymbol{G}$ ，因面 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \perp$ 面 ABCDEF ，而 AG 在面 ABCDEF 上的射影在 AB 上，而 AB 与 BC 不相互垂直，故排除 B ；由 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{C} / / \boldsymbol{E} \boldsymbol{F}$ ，而 EF 是平面 PAE 的斜线，故排除 C ，故选择 D 。

6．已知 $a, b, c, d$ 为实数，且 $c>d$ 。则＂$a>b$＂是＂$a-c>b-d$＂的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文 7）解析： $\boldsymbol{a}>\boldsymbol{b}$ 推不出 $a-c>b-d$ ；但 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}>\boldsymbol{b}-\boldsymbol{d} \Rightarrow \boldsymbol{a}>\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{d}>\boldsymbol{b}$ ，故选择 B 。
7．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，其一条渐近线方程为 $y=x$ ，点 $P\left(\sqrt{3}, y_{0}\right)$ 在该双曲线上，则 $\overrightarrow{P F_{1}} \bullet \overrightarrow{P F_{2}}=$
A．-12
B．-2
C ． 0
D． 4

【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文 8）解析：由题知 $\boldsymbol{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{2}$ ，故 $\boldsymbol{y}_{\mathbf{0}}= \pm \sqrt{\mathbf{3}-\mathbf{2}}= \pm \mathbf{1}, \boldsymbol{F}_{\mathbf{1}}(-\mathbf{2}, \mathbf{0}), \boldsymbol{F}_{\mathbf{2}}(\mathbf{2}, \mathbf{0})$ ，
$\therefore \overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=(-2-\sqrt{3}, \pm 1) \cdot(2-\sqrt{3}, \pm 1)=3-4+1=0$ ，故选择 C。
8．如图，在半径为 3 的球面上有 $A, B, C$ 三点，$\angle A B C=90^{\circ}, B A=B C$ ，球心 $O$ 到平面 $A B C$的距离是 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，则 $B , C$ 两点的球面距离是
A．$\frac{\pi}{3}$
B．$\pi$
C．$\frac{4 \pi}{3}$
D． $2 \pi$

【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文 9）解析：由知截面圆的半径
$r=\sqrt{9-\frac{18}{4}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2} \Rightarrow B C=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3 \sqrt{2}=3$ ，故 $\angle B O C=\frac{\pi}{3}$ ，所以 $B , C$

两点的球面距离为 $\mathbf{3} \cdot \frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathbf{3}}=\boldsymbol{\pi}$ ，故选择 B 。
9．已知直线 $l_{1}: 4 x-3 y+6=0$ 和直线 $l_{2}: x=-1$ ，抛物线 $y^{2}=4 x$ 上一动点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的距离之和的最小值是
A． 2
B． 3
C．$\frac{11}{5}$
D．$\frac{37}{16}$

【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。
解析：直线 $l_{2}: x=-1$ 为抛物线 $y^{2}=4 x$ 的准线，由抛物线的定义知， P 到 $\boldsymbol{l}_{2}$ 的距离等于 P到抛物线的焦点 $\boldsymbol{F}(\mathbf{1 , 0})$ 的距离，故本题化为在抛物线 $y^{2}=4 x$ 上找一个点 $P$ 使得 $P$ 到点 $\boldsymbol{F}(\mathbf{1 , 0})$ 和直线 $l_{2}$ 的距离之和最小，最小值为 $\boldsymbol{F}(\mathbf{1 , 0})$ 到直线 $l_{1}: 4 x-3 y+6=0$ 的距离，即 $\boldsymbol{d}_{\min }=\frac{|\mathbf{4}-\mathbf{0}+\mathbf{6}|}{\mathbf{5}}=\mathbf{2}$ ，故选择 A。
10．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18吨，那么该企业可获得最大利润是
A． 12 万元
B． 20 万元
C． 25 万元
D． 27 万元

【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文 10 ）解析：设甲、乙种两种产品各需生产 $\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y}$ 吨，可使利润 $\boldsymbol{z}$ 最大，故本题即

已知约束条件 $\left\{\begin{array}{l}\mathbf{3} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} \leq 13 \\ \mathbf{2} \boldsymbol{x}+\mathbf{3} \boldsymbol{y} \leq 18 \\ \boldsymbol{x} \geq \mathbf{0} \\ \boldsymbol{y} \geq \mathbf{0}\end{array}\right.$ ，求目标函数 $\boldsymbol{z}=\mathbf{5} \boldsymbol{x}+\mathbf{3} \boldsymbol{y}$ 的最大值，可求出最优解为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=4\end{array}\right.$ ，故 $z_{\text {max }}=15+12=27$ ，故选择 D。
11.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A． 360
B． 228
C． 216
D． 96

【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。
解析： 6 位同学站成一排， 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 $\boldsymbol{A}_{3}^{3} \boldsymbol{C}_{3}^{2} \boldsymbol{A}_{4}^{2} \boldsymbol{A}_{2}^{2}=\mathbf{3 3 2}$种，其中男生甲站两端的有 $\boldsymbol{A}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{1}} \boldsymbol{A}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}} \boldsymbol{C}_{\mathbf{3}}^{\mathbf{2}} \boldsymbol{A}_{\mathbf{3}}^{\mathbf{2}} \boldsymbol{A}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}=\mathbf{1 4 4}$ ，符合条件的排法故共有
12．已知函数 $f(x)$ 是定义在实数集 $R$ 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 $x$ 都有 $x f(x+1)=(1+x) f(x)$ ，则 $f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right)$ 的值是
A． 0
B．$\frac{1}{2}$
C． 1
D．$\frac{5}{2}$

【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文 12）
解析：令 $x=-\frac{1}{2}$ ，则 $-\frac{1}{2} f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} f\left(\frac{1}{2}\right) \Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ；令 $x=0$ ，则 $\boldsymbol{f}(\mathbf{0})=\mathbf{0}$
由 $x f(x+1)=(1+x) f(x)$ 得 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}+\mathbf{1})=\frac{\boldsymbol{x}+\mathbf{1}}{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ ，所以
$f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}} f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{3} f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} f\left(\frac{1}{2}\right)=0 \Rightarrow f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right)=f(0)=0$ ，故选择 A 。
13．$\left(2 x-\frac{1}{2 x}\right)^{6}$ 的展开式的常数项是＿（用数字作答）
【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。（同文 13）
解析：由题知 $\left(2 x-\frac{1}{2 x}\right)^{6}$ 的通项为 $\boldsymbol{T}_{r+1}=(-\mathbf{1})^{r} \boldsymbol{C}_{6}^{r} \mathbf{2}^{6-2 r} \boldsymbol{x}^{6-2 r}$ ，令 $\mathbf{6 - 2 r}=\mathbf{0}$ 得 $\boldsymbol{r}=\mathbf{3}$ ，故常数项为 $(-\mathbf{1})^{\mathbf{3}} \boldsymbol{C}_{\mathbf{6}}^{\mathbf{3}}=\mathbf{- 2 0}$ 。
14．若 $\odot O_{1}: x^{2}+y^{2}=5$ 与 $\odot O_{2}:(x-m)^{2}+y^{2}=20(m \in R)$ 相交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是
【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。
解析：由题知 $O_{1}(0,0), O_{2}(m, 0)$ ，且 $\sqrt{5}<|m|<3 \sqrt{5}$ ，又 $O_{1} A \perp A O_{2}$ ，所以有

$$ m^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(2 \sqrt{5})^{2}=25 \Rightarrow m= \pm 5, \quad \therefore A B=2 \cdot \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}}{5}=4 $$

15．如图，已知正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各条棱长都相等，$M$ 是侧 棱 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A B_{1}$ 和 $B M$ 所成的角的大小是 $\_\_\_\_$。
【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。

解析：不妨设棱长为 2 ，选择基向量 $\left\{\overrightarrow{\boldsymbol{B A}}, \overrightarrow{\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}_{1}}, \overrightarrow{\boldsymbol{B C}}\right\}$ ，则
$\overrightarrow{A^{B_{1}}}=\overrightarrow{B B_{1}}-\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B M}=\overrightarrow{B C}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B B_{1}}$
$\cos \left\langle\overrightarrow{A B_{1}}, \overrightarrow{B M}\right\rangle=\frac{\left(\overrightarrow{B B_{1}}-\overrightarrow{B A}\right) \bullet\left(\overrightarrow{B C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B B_{1}}\right)}{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}=\frac{0-2+2+0}{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}=0$ ，故填写 $90^{\circ}$ 。
法 2：取 BC 中点 N ，连结 $\boldsymbol{B}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{N}$ ，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{N} \perp$ 面 $\boldsymbol{B}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{C} , \therefore \boldsymbol{B}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{N}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}_{\mathbf{1}}$ 在面 $\boldsymbol{B}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{C}$ 上的射影，由几何知识知 $\boldsymbol{B}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{N} \perp \boldsymbol{B} \boldsymbol{M}$ ，由三垂线定理得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}_{\mathbf{1}} \perp \boldsymbol{B} \boldsymbol{M}$ ，故填写 $\mathbf{9 0}^{\boldsymbol{\circ}}$ 。