（5分）在 A B C 中， B= π 4 , B C 边…——2016 高考数学第 8 题答案解析

【考点】HT：三角形中的几何计算．
【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．
【分析】作出图形，令 $\angle \mathrm{DAC}=\theta$ ，依题意，可求得 $\cos \theta=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}=\frac{\frac{\mathrm{a}}{3}}{\sqrt{\left(\frac{1}{3} \mathrm{a}\right)^{2}\left(\frac{2 \mathrm{a}}{3}\right)^{2}}}= \frac{\sqrt{5}}{5}, \sin \theta=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，利用两角和的余弦即可求得答案。

【解答】解：设 $\triangle A B C$ 中角 $A , B , C$ 、对应的边分别为 $a , b , c, A D \perp B C$ 于 $D$ ，令 $\angle \mathrm{DAC}=\theta$,

∵ 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{B}=\frac{\pi}{4}, \mathrm{BC}$ 边上的高 $\mathrm{AD}=\mathrm{h}=\frac{1}{3} \mathrm{BC}=\frac{1}{3} \mathrm{a}$ ，
$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{AD}=\frac{1}{3} \mathrm{a}, \quad C D=\frac{2}{3} \mathrm{a}$ ，
在Rt $\triangle \mathrm{ADC}$ 中， $\cos \theta=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}=\frac{\frac{\mathrm{a}}{3}}{\sqrt{\left(\frac{1}{3} \mathrm{a}\right)^{2}+\left(\frac{2 \mathrm{a}}{3}\right)^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，故 $\sin \theta=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，
$\therefore \cos A=\cos \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=\cos \frac{\pi}{4} \cos \theta-\sin \frac{\pi}{4} \sin \theta=\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{2 \sqrt{5}}{5}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$ ．
故选：C．
【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令 $\angle \mathrm{DAC}=\theta$ ，利用两角和的余弦求 co sA 是关键，也是亮点，属于中档题．