2016 新课标 III 卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）设集合 $S=\{x \mid(x-2)(x-3) \geq 0\}, T=\{x \mid x>0\}$ ，则 $S \cap T=$（ ）

2．（5分）若 $z=1+2 i$ ，则 $\frac{4 i}{z^{*} \bar{z}-1}=$

3．（5分）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $\angle \mathrm{ABC}=$（）

4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为 1 $5^{\circ} \mathrm{C}$ ，B点表示四月的平均最低气温约为 $5^{\circ} \mathrm{C}$ ，下面叙述不正确的是  ## ——平均最低气温 ——平均最高气温

5．（5分）若 $\tan \alpha=\frac{3}{4}$ ，则 $\cos ^{2} \alpha+2 \sin 2 \alpha=$（ ）

6．（5分）已知 $a=2^{\frac{4}{3}}, b=3^{\frac{2}{3}}, c=25^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的 $\mathrm{a}=4, ~ \mathrm{~b}=6$ ，那么输出的 $\mathrm{n}=$（ ） 

8．（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$B=\frac{\pi}{4}, B C$ 边上的高等于 $\frac{1}{3} B C$ ，则 $\cos A$ 等于（ ）

9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）   

10．（5分）在封闭的直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 内有一个体积为 $V$ 的球，若 $A B \perp B C$ ， $A B=6, B C=8, A A_{1}=3$ ，则 $V$ 的最大值是

11．（5分）已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点，$A$ ， B 分别为 C 的左，右顶点． P 为 C 上一点，且 $\mathrm{PF} \perp \mathrm{x}$ 轴，过点 A 的直线 $l$ 与线段 PF交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ．若直线 $B M$ 经过 $O E$ 的中点，则 $C$ 的离心率为（

12．（5分）定义＂规范01数列＂$\left\{a_{n}\right\}$ 如下：$\left\{a_{n}\right\}$ 共有 $2 m$ 项，其中 $m$ 项为 0 ，$m$ 项为 1 ，且对任意 $k \leq 2 m, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ 中 0 的个数不少于 1 的个数，若 $m=4$ ，则不同的＂规范01数列＂共有

13．（5分）若 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+1 \geqslant 0 \\ x-2 y \leqslant 0 \\ x+2 y-2 \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x+y$ 的最大值为一 $\frac{3}{2}$ 一。

14．（5分）函数 $y=\sin x-\sqrt{3} \cos x$ 的图象可由函数 $y=\sin x+\sqrt{3} \cos x$ 的图象至少向右平移－$\frac{2 \pi}{3}$－个单位长度得到．

15．（5分）已知 $f(x)$ 为偶函数，当 $x<0$ 时，$f(x)=\ln (-x)+3 x$ ，则曲线 $y=f$ （x）在点 $(1,-3)$ 处的切线方程是 $\quad 2 x+y+1=0$ ．

16．（5分）已知直线｜：$m x+y+3 m-\sqrt{3}=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=12$ 交于 $A, B$ 两点，过 $A, B$分别作I的垂线与 $x$ 轴交于 $C, D$ 两点，若 $|A B|=2 \sqrt{3}$, 则 $|C D|=\underline{4}$ ．

17．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=1+\lambda a_{n}$ ，其中 $\lambda \neq 0$ ． （1）证明 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，并求其通项公式； （2）若 $S_{5}=\frac{31}{32}$ ，求 $\lambda$ ．

18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨 ）的折线图． 注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014． （I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以证明； （II）建立 $y$ 关于 $t$ 的回归方程（系数精确到0．01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：$\sum_{i=1}^{7} y_{i}=9.32, \sum_{i=1}^{7} t_{i} y_{i}=40.17, \sqrt{\sum_{i=1}^{7}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}=0.55, \sqrt{7} \approx 2.646$ ． 参考公式：相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}$ ， 回归方程 $\widehat{y}=\widehat{a}+\widehat{b} t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $ \widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2}}, \widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b} t . $ 

19．（12分）如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 底面 $A B C D, A D \| B C, A B=A D=A C=3$ ，$P A=B C=4, M$ 为线段 $A D$ 上一点，$A M=2 M D, N$ 为 $P C$ 的中点． （1）证明：$M N \|$ 平面 $P A B$ ； （2）求直线 AN 与平面PMN所成角的正弦值． 

20．（12分）已知抛物线 $C$ ：$y^{2}=2 x$ 的焦点为 $F$ ，平行于 $x$ 轴的两条直线 $I_{1}, I_{2}$ 分别交 C 于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，交 C 的准线于 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 两点． （I）若 $F$ 在线段 $A B$ 上，$R$ 是 $P Q$ 的中点，证明 $A R \| F Q$ ； （ II ）若 $\triangle P Q F$ 的面积是 $\triangle A B F$ 的面积的两倍，求 $A B$ 中点的轨迹方程．

21．（12分）设函数 $f(x)=a \cos 2 x+(a-1)(\cos x+1)$ ，其中 $a>0$ ，记 $\mid f(x)$ ｜的最大值为 A ． （I）求 $f^{\prime}(x)$ ； （II）求 A ； （III）证明：$\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 2 A$ ．

22．（10分）如图，$\odot \mathrm{O}$ 中 $\widehat{\mathrm{AB}}$ 的中点为 P ，弦 $\mathrm{PC}, \mathrm{PD}$ 分别交 AB 于 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 两点． （1）若 $\angle P F B=2 \angle P C D$ ，求 $\angle P C D$ 的大小； （2）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G ，证明： $\mathrm{OG} \perp \mathrm{CD}$ ． 

23．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos \alpha \\ y=\sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数），以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=2 \sqrt{2}$ ． （1）写出 $\mathrm{C}_{1}$ 的普通方程和 $\mathrm{C}_{2}$ 的直角坐标方程； ②设点 P 在 $\mathrm{C}_{1}$ 上，点 Q 在 $\mathrm{C}_{2}$ 上，求 $|P Q|$ 的最小值及此时 P 的直角坐标．

24．已知函数 $f(x)=|2 x-a|+a$ ． （1）当 $a=2$ 时，求不等式 $f(x) \leq 6$ 的解集； ②设函数 $g(x)=|2 x-1|$ ，当 $x \in R$ 时，$f(x)+g(x) \geq 3$ ，求 $a$ 的取值范围．